Теми рефератів
> Реферати > Дипломні проекти > Курсові роботи > Звіти з практики > Курсові проекти > Питання та відповіді > Ессе > Доклади > Учбові матеріали > Контрольні роботи > Методички > Лекції > Твори > Підручники > Статті Контакти Партнери проекту
Реклама
Реферати, твори, дипломи, практика » Доклады » Рішення алгебраїчного рівняння n-го ступеня

Реферат Рішення алгебраїчного рівняння n-го ступеня



B.А. Будніков

Б 903 Рішення алгебраїчного рівняння n-ої ступеня - Новосибірськ: Інтернет, Блоги: budnikov57@mail.ru, 2010. - 26 с. p> У роботі запропоновано аналітичне рішення ( в радикалах ) алгебраїчного рівняння n - го ступеня. Вирішені Проблеми власних значень для знаходження Функцій від Матриць і стійкості рішень лінійних диференціальних та різницевих рівнянь. Метод рішення заснований на послідовному отриманні алгебраїчного рівняння щодо квадратів незалежної змінної і його Рішенні з наступним поверненням до коріння вихідного рівняння. Метод характеризується простотою і вимагає тільки вміння вирішувати квадратні рівняння і витягувати коріння n - го ступеня з комплексного числа. Алгоритм рішення легко піддається програмуванню. Наведено конкретні приклади вирішення алгебраїчних рівнянь з третьої по восьму ступінь включно.

Стаття може бути корисна Фахівцям, які займаються вирішенням завдань Вищої Алгебри, а також Студентам вищих навчальних закладів, які цікавляться складними математичними Проблемами.


Введення

Проблема розв'язання в радикалах алгебраїчного рівняння довільного ступеня, так званого Старого рівняння, цікавила математиків всіх часів і народів. Удача Тартальи і Феррарі в вирішенні рівнянь третього і четвертого ступенів внесла надію на успіхи в цьому напрямку і далі. Однак Рішення довгий час знайти не вдавалося/1 /. Можу з упевненістю сказати, що всі Великі математики, в Протягом останніх п'ятисот років, займалися вирішенням рівнянь вищих ступенів. Рівняння п'ятого ступеня вирішували Ньютон, Лейбніц, Лагранж, Ейлер, Гаус, Тейлор, Абель, Галуа, Пуанкаре, Клейн, Гільберт і багато інших (Список можна було б ще довго продовжувати). У довідниках з вищої математики сказано, що НЕ ІСНУЄ рішення в радикалах алгебраїчних рівнянь вище четвертого ступеня/2 /. Здавалося б, не існує і вирішувати не треба! Проте в Техніці дуже важливо вибирати параметри Систем у відповідність з принципами Оптимальності, щоб Об'єкти, описувані системами диференціальних або різницевих рівнянь, задовольняли заданому критерію якості (наприклад, мінімуму споживаної Енергії або максимальному швидкодії).

Для пояснення подальших міркувань введемо систему умовних позначень.

ПОЗНАЧЕННЯ:

* - знак множення,

** - знак зведення в ступінь,

ABS (x) - абсолютна величина комплексної змінної x,

Re x, Im x - дійсна і уявна величини комплексної змінної x відповідно,

Mod x, Fi x - модуль і кут комплексної змінної x відповідно,

SIN (x), COS (x) - тригонометричні функції sinx і cosx,

ARCTAN (Im x, Re x) - зворотна тригонометрическая функція arctg ((Im x)/(Re x)).

SQRT (x) - операція добування квадратного кореня з дійсного числа x.

PI = 3.141592653589793 - Число ПЂ. p> У 1683 році друг Г.В. Лейбніца Е.В. фон Чірнгауз (1651 - 1708) опублікував у журналі "Acta Eruditorum" метод перетворення алгебраїчного рівняння в рівняння тій же мірі з меншим числом членів.

Чірнгауз з рівняння


(x ** n) + A1 * (x ** (N - 1)) + A2 * (x ** (n - 2)) + ... + An = 0,


і рівняння з невизначеними коефіцієнтами


y = B1 * (x ** (n - 2)) + B2 * (x ** (N - 3)) + ... + Bn-1,


виключав x. Він вважав, що в отриманому рівнянні


(y ** n) + C1 * (y ** (N - 1)) + C2 * (y ** (n - 2)) + ... + Cn = 0,


можна буде підібрати коефіцієнти Bi, від яких залежать Ci, так, що всі коефіцієнти Ci, крім одного, звернуться до нуль. Тоді останнє рівняння прийме вигляд


(y ** n) + Cn = 0,


і вихідне рівняння відносно змінної x буде вирішуваний в радикалах.

Зазначимо, що в загальному випадку коефіцієнт Cn може бути комплексною величиною, для якої, у відповідність з теорією функцій комплексного змінного, існують поняття модуля і кута вектора на комплексній площині. Для спрощення міркувань будемо вважати коефіцієнт Cn дійсною величиною ((-Cn)> 0)

Нехай q = (-Cn) ** (1/n), тоді рівняння щодо змінної yi легко може бути вирішено


yi = q * (COS (2 * (I - 1) * PI/n) + j * SIN (2 * (i - 1) * PI/n),


де q - арифметичний корінь n - го ступеня з числа (-Cn),

i - порядковий номер кореня рівняння, i = 1, n;

j - квадратний корінь з (- 1), уявна величина.

Вираз COS (2 * (i - 1) * PI/n) + j * SIN (2 * (2 * (i - 1) * PI/n) задає корені рівняння


((x ** n) - 1)/(x - 1) = 1 + x + (x ** 2) + ... + (x ** (n - 1)) = 0. br/>

Остання являє собою вираз для суми n членів геометричній прогресії з основою x.

Чірнгауз вдалося вирішити таким чином рівняння при n = 3, але в загальному випадку прийом до цілі не наводив. Лейбніц, якому Чірнгауз повідомив листом в 1677 році ідею методу, зауважив, що нічого не виходить навіть для рівняння п'ятого ступеня.

Ісаак Ньют...


сторінка 1 з 11 | Наступна сторінка





Схожі реферати:

  • Реферат на тему: Приблизне рішення нелінійного рівняння (метод дотичних)
  • Реферат на тему: Рішення одного нелінійного рівняння
  • Реферат на тему: Алгоритм рішення рівняння в повних диференціалах
  • Реферат на тему: Чисельне рішення рівняння теплопровідності
  • Реферат на тему: Рішення нелінійного рівняння методом дотичних
  • Реклама
    загрузка...