Функціонально-графічний підхід до вирішення завдань з параметрами
В
(Слайд 1 -2)
Введення
Вивчення багатьох фізичних процесів і геометричних закономірностей часто призводить до вирішення завдань з параметрами.
Завдання з параметрами викликають великі труднощі. Це пов'язано з тим, що вирішення таких завдань вимагає не тільки знання властивостей функцій і рівнянь, вміння виконувати алгебраїчні перетворення, але також високою логічної культури і хорошої техніки дослідження.
(Слайд 3)
Математичне поняття параметра
Параметром називаються коефіцієнти при невідомих або вільні члени, задані не конкретними числовими значеннями, а позначені буквами.
Вирішити завдання з параметром - це значить, для кожного значення параметра знайти значення x , що задовольняють умові цієї задачі. p> (до 4 слайду)
Виділяють кілька типів завдань з параметрами ..
Основні типи завдань з параметрами:
Тип 1 . Завдання, які необхідно вирішити для всіх значень параметра або для значень параметра із заданого проміжку. p> Тип 2. Завдання, де потрібно знайти кількість рішень залежно від значення параметра. p> Тип 3. Завдання, де необхідно знайти значення параметра, при яких завдання має задану кількість рішень
Тип 4. Завдання, в яких необхідно знайти значення параметра, при яких безліч рішень задовольняє заданим умовам. p> (до 5 слайду)
Основні методи розв'язання задач:
-аналітичний , т е за допомогою виразів алгебри
-графічний, т е за допомогою побудови графіків функцій
-рішення щодо параметра , т е у разі, коли параметр вважається ще однієї змінної ..
Наша доповідь присвячений другому способу вирішення завдань з параметрами.
(до 6 слайду) побудова графіків функцій.
При цьому важливо знати основні правила побудови функцій, які можна розглянути на прикладі графіка функції у = | х |.
Графік функції у = | х-а | виходить з графіка функції у = | Х | за допомогою паралельного перенесення вправо якщо а більше 0 на а одиниць, і вліво якщо а менше 0 на-а одиниць.
Графік функції у = | х | + b виходить з графіка функції у = | Х | при паралельному перенесенні вгору на b одиниць якщо b більше 0, і вниз на - b одиниць якщо b менше 0.
Задача1
Задана функція у = f (х). Потрібно вказати кількість коренів рівняння f (х) = а при всіх значеннях параметра.
Дане завдання відноситься до 2му типу задач з параметрами. Тут можна кілька випадків: при а <- 5 рівняння має 1 корінь, при а = - 5 - 2 кореня , при - 5 три кореня, при а = - 2 - чотири кореня, при - 2 п'ять коренів, при а = 1 - чотири кореня, при 1 три кореня, при а = 3 - два кореня і при а> 3 - один корінь .
Задача 2
Наступна задача відноситься до 4 типу задач з параметрами. p> Нам необхідно знайти значення параметра, при яких безліч точок, задане нерівністю (1) є підмножиною множини точок, заданого нерівністю (2). p> Графіком другого нерівності є область, обмежена ромбом. p> Наша задача зводиться до того, щоб знайти всі значення параметра а, при яких безліч точок стискається до таких розмірів, щоб поміститися у цей ромб.
Нерівність (1) рівносильне системі (3). p> Очевидно, що при а ≤ 0 ця система задає необмежену безліч точок (рис 2), яке не може поміститися всередині ромба.
Якщо а> 0, то система задає фігуру, зображену на рис 3. p> З міркувань симетрії для пошуку значень параметра вимагатимемо, щоб рівняння 1 - ах ВІ = 5/4 - 2х при а> 0 мало не більше одного кореня. Звідси а ≥ 4.
Задача 3
Дану задачу можна віднести до змішаного типу (3, 4)
У ній потрібно вказати позитивні значення параметра, при яких площа фігури, обмежена параболами (1) і (2) дорівнює а? і знайти значення а, при яких завдання має сенс.
Рішення: Знайдемо абсциси точок перетину цих парабол, для цього вирішимо квадратне рівняння (). Його корінням є числа x1 і x2. Потім обчислимо площу фігури, обмеженою параболами. Площа знаходимо за допомогою визначеного інтеграла з межами інтегрування від x1 до x2.
В
За умовою площа фігури = а, тоді висловимо значення параметра b. З умови, а й b більше 0 слід, що рішення задачі існує при а що належить інтервалу (о; 4/3)
Задача 5
Знайти значення параметра до, при якому площа фігури обмеженою лініями буде найменшою?
Рішення: Знайдемо абсциси точок перетину параболи і прямій. Для цього вирішимо рівняння (3) або (4). Так як дискримінант> 0 то рівняння при все значеннях параметра буде мати 2 кореня x1 і x2. Обчислимо площа фігури обмежену лініями 1) і 2). Її так само обчислюємо за допомогою визначеного інтеграла з межами інтегрування x1 і x2.
Згідно т. Вієта для коріння x1 і x2. рівняння (2): сума коренів дорівнює до-2, а їх добуток -4. br/>В В
Min площа досягається при к = 2 і
Це завдання можна віднести до 4 типу.
При якому значенні а площа фігури, обмеженої лініями x = 2, дорівнює
В
Висновок
В
Отже, ми розглянули часто зустрічаються типи рівнянь і способи їх рішень і зробили висновок, що найбільш ефективним є графічний метод розв'язання задач з параметрами.
Вивчення фізичних, хімічних, економічних і багатьох інших закономірностей часто призводить до вирішення завдань з параметрами, до дослідження процесу залежно від параметра. Тому навички вирішення завдань з параметрами, знання деяких їх особливостей потрібні всім фахівцям, в будь-якій області наукової і практичної діяльності
