Зміст
1.Краткая теоретичні відомості про диференціальні рівняння
1.1 Диференціальні рівняння. Основні поняття
1.2 Завдання Коші для диференціальних рівнянь
1.3 Диференціальні рівняння I порядку
1.4 Рівняння з відокремлюваними змінними
1.5 Однорідні рівняння I порядку
1.6 Рівняння, що зводяться до однорідного
1.7 Лінійні рівняння I порядку
1.8 Рівняння Бернуллі
1.9 Рівняння в повних диференціалах
1.10 Теорема існування та єдиності розв'язку задачі Коші
Список літератури
диференціальне рівняння лінійне Бернуллі
1.Краткая теоретичні відомості про диференціальні рівняння
.1 Диференціальні рівняння. Основні поняття
Звичайним диференціальним рівнянням n-ого порядку називається рівняння виду
,
де F-відома функція (n +2)-x, x-незалежна змінна з інтервалу (a, b), y (x) - незмінна функція. Число n називається порядком рівняння. p> Функція y (x) називається рішенням (або інтегралом) диференціального рівняння на проміжку (a, b), якщо вона n раз дифференцируема на (a, b) і при підстановці в рівняння звертає його в тотожність. p> Звичайні диференціальні рівняння, дозволені відносно старшої похідної, називають рівняннями в нормальній формі:
.
Диференціальне рівняння зазвичай має нескінченно багато рішень. Щоб виділити потрібне рішення, використовують додаткові умови. Щоб виділити єдине рішення рівняння n-го порядку зазвичай задають n початкових умов,,,. p> Завданням Коші (або початкової завданням) називається завдання відшукування розв'язку y = y (x) рівняння,
задовольняє умовам,,,.
Умови,,, називаються початковими даними, початковими умовами або даними Коші. p> Будь-яке конкретне рішення рівняння n-го порядку, називається приватним рішенням.
Спільним рішенням диференціального рівняння називається функція
, що містить деякі постійні (параметри) і що володіє наступними властивостями:
є рішенням рівняння при будь-яких доступних значеннях
Для будь-яких початкових даних,,, для яких задача Коші має єдине рішення, існує значення постійних такі що рішення задовольняє заданим початковим умовам. p> Іноді приватне або спільне рішення рівняння вдається знайти тільки в неявній формі: f (x, y) = 0 або G
Такі неявно задані рішення називаються приватним інтегралом або загальним інтегралом рівняння. p> Якщо завдання про відшукування всіх рішень диференціального рівняння вдається звести до алгебраїчних операцій і до обчислення кінцевого числа інтегралів і похідних від відомих функцій, то рівняння називається інтегрованим в квадратурі. Клас таких рівнянь щодо вузьке. p> Для вирішення рівнянь, що не інтегруються в квадратурі, застосовуються наближені або чисельні методи.
Завдання теорії звичайних диференціальних рівнянь - дослідження загальних властивостей рішень, розвиток точних, асимптотичних та чисельних методів інтегрування рівнянь.
.2 Завдання Коші для диференціальних рівнянь
Задача Коші для будь-якого диференціального рівняння n-го порядку, записаного в нормальній формі, = 0,,,,, може бути зведена до задачі Коші для системи диференціальних рівнянь n-го порядку.
Позначимо
В
Тоді
В
І завдання Коші для рівняння записується у вигляді задачі Коші для системи:
В
Це завдання в векторній формі записується у вигляді:
, де
В
.3 Диференціальні рівняння I порядку
Рівняння F (x, y, y) = 0, де y = y (x) - невідома, безперервно дифференцируема на (a, b) функція, називається звичайним диференціальним рівнянням першого порядку.
Функція y = y (x) називається рішенням диференціального рівняння F (x, y, y) = 0, якщо вона безперервно дифференцируема на (a, b) і F (x, y (x), y (x)) 0 для всіх x з (a, b).
Графік рішення диференціального рівняння називається інтегральною кривою диференціального рівняння.
Диференціальне рівняння першого порядку має нескінченно багато рішень. Для того щоб виділити єдине рішення, потрібно задати додаткові (початкові) умови. p> Завдання відшукування розв'язку y = y (x) рівняння F (x, y, y) = 0, що задовольняє умові називається задачею Коші (або початкової завданням).
Умова-початкова умова.
Будь-яке конкретне рішення y = y (x) (рішення задачі Коші) рівняння 1-го порядку називається приватним рішенням рівняння.
Загальне рішення рівняння, записане в неявній формі Ф (x, y) = C, називається загальним інтегралом рівняння.
Приватне рішення рівняння, записане в неявній формі Ф (x, y) = 0, називається приватним інтегралом рівняння.
Рі...
