Зміст
1. Множини. Дійсні числа
Поняття множини
Операції над множинами
Безліч дійсних чисел
Числові послідовності
2. Функція
Поняття функції
Нескінченно малі і нескінченно великі функції
3. Безперервність функції
Безперервність функції в точці
Арифметичні операції над функціями, безперервними в точці
Безперервність елементарних функцій
Властивості неперервних функцій
1. Множини. Дійсні числа
Поняття множини
Мно ? жество - один з ключових об'єктів математики, зокрема, теорії множин і логіки. Поняття множини звичайно приймається за одне з вихідних аксіоматичних понять, тобто не зводиться до інших понять, а значить і не має визначення. Однак, можна дати опис безлічі, наприклад у формулюванні німецького математика Георга Кантора: "Під безліччю ми розуміємо з'єднання в якесь ціле < i align = "justify"> M певних добре помітних предметів m нашого споглядання або нашого мислення (які будуть називатися елементами безлічі)".
з 1872 р. по 1897 р. (головним чином у 1872-1884 рр..) Георг Кантор опублікував ряд робіт, в яких були систематично викладені основні розділи теорії множин. Тому загальновизнано, що теорію множин створив Георг Кантор. p align="justify"> Інше формулювання належить англійському математику Бертрану Расселлу (1872-1970рр.): " Безліч суть сукупність різних елементів, мислима як єдине ціле" .
Таким чином, під безліччю розуміється сукупність елементів (об'єктів) тієї чи іншої природи.
Множини зазвичай позначають великими літерами латинського чи іншого алфавіту: ..., а елементи множини малими літерами ...
Якщо елемент належить множині, то пишуть. Якщо не належить безлічі, то запис цього твердження має вигляд. p align="justify"> безліч функція безперервна число
Множини і називаються рівними, якщо вони складаються з одних і тих же елементів, тобто рівність означає, що одне і теж безліч позначено різними літерами.
Існує два основних способи завдання множини. Якщо елементи множини можуть бути перераховані, то така безліч записують у вигляді. Цей запис означає, що безліч складається з елементів і можливо ще якихось інших. Список елементів може бути і нескінченним. Наприклад, безліч містить чотири елементи:. Безліч, де - ціле позитивне число, складається з нескінченного числа елементів. Якщо множина складається з елементів, де індекс приймає значення з деякої безлічі, то його записують у вигляді. p> Якщо множина складається з елементів, що володіють певним властивістю, то його записують у вигляді, де у фігурних дужках після вертикальної риси вказують дане властивості елементів множини. Наприклад, якщо безліч - це відрізок (), тобто безліч всіх чисел, що задовольняють нерівності, то форма запису безлічі має вигляд. p> Приклад. Запис означає, що безліч складається з речових коренів квадратного рівняння, тобто. p> Пустим безліччю називається безліч, що не містить жодного елемента. Воно позначається символом. p> Безліч називається підмножиною множини, якщо кожен елемент множини належить множині. У цьому випадку пишуть. Останній запис можна прочитати й так: безліч укладено (міститься) в множині. p> Якщо і, то кожен елемент множини належить множині, а кожен елемент множини належить множині. Отже, множини і складаються з одних і тих же елементів, то є. p align="justify"> Операції над множинами
Нехай і - довільні множини.
Об'єднанням або сумою множин і називається безліч, що складається з усіх елементів, що належать хоча б одній з множин і. Об'єднання множин і позначається символом. p> Перетином множин і називається безліч , складається з усіх елементів, що належать як множині , так і безлічі , Перетин множин і позначається через .
Різницею множин і називається безліч, що складається з елементів, що належать безлічі, але не належать безлічі, тобто.
Якщо, то різниця називається доповненням множини до множини і позначається.
Для наочності безлічі нерідко зображують у вигляді деякої сукупності точок на площині. На рис.1а зображені множини і, на рис.1б - їх об'єднання, на ріс.1в - перетин множин і, на ріс.1г - різниця множин і, на ріс.1д - доповнення ...
