Функціональні ряди (ФР). Статечні ряди (стр)
В
Функціональний ряд - ряд виду
,
члени якого є функціями від х.
Надаючи х різні числові значення, отримуємо різні числові ряди, які можуть сходитися чи розходитися.
Сукупність тих значень х, при яких ФР сходиться, називається областю збіжності і цього ряду. Область збіжності ФР частіше всього служить небудь проміжок осі ОХ.
Окремим випадком ФР є статечної ряд.
стр - ФР виду
,
де а, С0, С1, ..., Сn - постійні числа, звані коефіцієнтами ряду. При а = 0 стр приймає вигляд:
В
Для всякого стр існує такий інтервал, який називається інтервалом збіжності, всередині якого ряд сходиться абсолютно; поза цього інтервалу ряд розходиться.
Заданий стр, треба знайти інтервал збіжності для цього ряду. Знаходимо так:
- радіус збіжності ряду Стор.
-R
a-R
Якщо взяти будь-яке значення х з інтервалу збіжності (Расходімості) і підставити його в стр замість х, то отримаємо сходиться (Розходиться) числовий ряд. p> В окремому випадку R може бути рівний 0 (R = 0) або (R =). p> Якщо R = то інтервал збіжності буде від - до + (-; +), тобто ряд сходиться на всій числовій осі.
Якщо R = 0 то ряд розходиться на всій числовій осі, окрім точки х = а (у цій точці ряд сходиться).
Для знаходження R стр застосовуємо формули Та Ламбера або Коші:
- формула Даламбера
- формула Коші
На кінцях інтервалу збіжності, тобто в точках х = а-R і х = а + R питання про збіжності/расходімості даного ряду вирішується індивідуально для кожного конкретного ряду. Для цього необхідно підставити з стр замість х числа х = а-R і х = а + R і досліджувати отримані числові ряди на збіжність або розбіжність. Якщо ряд сходиться (розходиться), то інтервал збіжності буде закритим (відкритим).
ПІДСУМОК . Заданий Стор. Знайти інтервал збіжності Стор. p> 1. Знайти R. 2. визначити інтервал збіжності. 3. досліджувати на збіжність кінці інтервалів.
Ряди Тейлора і Макларена
Всяка функція, нескінченно дифференцируемая в інтервалі (тобто a-R х-а , який називається рядом Тейлора і має вид:
В
Це рівність справедливо лише в тому випадку, якщо залишковий член (залишок ряду) формули Тейлора прагне до нуля (R n (x) 0) при необмеженому зростанні n (), тобто . p> У цьому випадку написаний праворуч ряд збігається і його сума дорівнює даної функції f (x).
f (x) = Sn (x) + Rn (x) Rn (x) = f (x)-Sn (x)
Sn (x)-сума перших членів; Rn (x)-залишок ряду.
Для оцінки залишку ряду можна користуватися формулою:
В
залишок ряду у формулі Ла-Гранда, де В«зВ» укладено між В«АВ» і В«хВ» (а <з <х). p> Якщо в ряді Тейлора а = 0, то ряд прийме вигляд:
В В
Розкладання елементарних функцій в ряди Тейлора і Макларена.
1. Розкладемо в ряд Макларена (тобто за ступенями х ) функцію e x .
Отримуємо розкладання функції в ряд Макларена.
f (x) = e x , f '(x) = e x , ..., f (n) (x) = e x , ...; a = 0, f (0) = 1, f '(0) = 1, ... f (n) (0) = 1
Отримуємо розкладання функції f (x) = e x в ряд Макларена:
I. p> a = 0, C n = 1/n!
В
Наведемо розкладання в ряд Макларена наступних функцій.
II. p> III. p> IV. p> V. br/>
Наближені обчислення значень з допомогою рядів.
ПРИКЛАД . Обчислити з точністю до 0,001 число. br clear=all>
;
;
;
e 1/2 = 1 +0.5 +0.125 +0.0208 +0.0026 +0.0003 = 1.648
Наближені обчислення інтегралів з допомогою рядів.
Приклад . Функція, з точністю до 0,001. br/>В
Ряди Фур'є
Теорема Деріхле: функція f (x) задовольняє умовам Деріхле в інтервалі (а, в), якщо в цьому інтервалі функція задовольняє трьом умовам:
1). Рівномірно обмежена (при x (a; b), тобто a 2). Має не більше ніж кінцеве число точок розриву першого роду.
3). Має не більше ніж кінцеве число точок екстремуму. p> Теорема Деріхле стверджує, що якщо функція f (x) задовольняє в інтервалі () умовам Деріхле, то під всякої точці (х) цього інтервалу функцію f (x) можна розкласти в тригонометричний ряд Фур'є.
В
,
де a n і b n називаються коефіцієнтами Фур'є і обчислюються за формулами:
В
Для розкладання функції в ряд Фур'є треба обчислити коефіцієнти а 0 , а n , b n
