1. Постановка завдання
Дано лінійне диференціальне рівняння другого порядку:
(1.1)
з крайовими умовами:
(1.2)
де функції P (x), Q (x), F (x) неперервні, і - задані постійні, причому: і.
Потрібно знайти рішення y (x) рівняння (1.1), що задовольнить крайовим умовам (1.2).
У даному варіанті курсової роботи необхідно:
Вирішити крайову задачу для звичайного диференціального рівняння з точністю Е = 1.е-5. Перевірити досягнуту точність. Результати представити за кроком h = 0.02. Рішення провести трьома наступними методами:
. Зведенням крайової задачі до задачі Коші. p align="justify"> 2. Методом кінцевих різниць.
3. Методом Гальоркіна.
(1.3)
З умов випливає, що функції P (x) = 0.9x; Q (x) = 2.3/x; F (x) = 1.8/(x * x) -4 і постійні a 1 = 1, a 2 = 0 , b 1 = 1, b 2 = 0, a = 1.3, b = 1.8, A = 2.2, B = -1.4.
2. Метод відомості крайової задачі до задачі Коші
.1 Опис методу
Рішення диференціального рівняння (1.1) з крайовими умовами (1.2) будемо шукати у вигляді лінійної комбінації:
В
де c = const (2.1)
Підставимо y (x) у вигляді (2.1) у вихідне диференціальне рівняння (1.1) і згрупуємо доданки при постійній с, отримаємо вираз:
(2.2)
Зажадаємо, щоб рівність (2.2) виконувалося при будь-якому з, для цього необхідно, щоб коефіцієнти при постійній з зверталися в нуль, одержимо систему рівнянь:
(2.3)
Із системи диференціальних рівнянь (2.3) видно, що функція u = u (x) - ненульовий рішення відповідного однорідного рівняння, а v = v (x) - деякий рішення даного неоднорідного рівняння (1.1).
Щоб звести крайову задачу (1.1) - (1.2) до завдань Коші для функцій u = u (x) і v = v (x), підставимо в перший крайове умова (1.2) вираз для функції y (x) і згрупуємо доданки при постійній c, будемо мати:
(2.4)
Для того щоб рівність (2.4) було справедливо при будь-якому з, необхідно і достатньо, щоб коефіцієнти при постійній з зверталися в нуль, тобто повинні бути виконані рівності:
(2.5)
Отримали систему (2.5) з двох рівнянь з чотирма невідомими. Рішень системи буде безліч. Знайдемо хоча б одне. p align="justify"> Для забезпечення першої рівності системи, наприклад, можна підібрати:
(2.6)
де постійна k відмінна від нуля, так як тривіальне р...
