Теми рефератів
> Реферати > Курсові роботи > Звіти з практики > Курсові проекти > Питання та відповіді > Ессе > Доклади > Учбові матеріали > Контрольні роботи > Методички > Лекції > Твори > Підручники > Статті Контакти
Реферати, твори, дипломи, практика » Доклады » Розбиття натурального ряду

Реферат Розбиття натурального ряду





>
В 

можемо будувати послідовності.

У 1877 році в В«Теорії звукуВ» лорд Релей писав: В«якщо x є деяке позитивне ірраціональне число, менше одиниці, то можна взяти два ряди величин n/x і n/(x-1) де n = 1,2,3 ...; кожне число, що належить до того чи іншого ряду, і тільки воно одне, буде укладено між двома послідовними натуральними числами ". Тобто br/>

і


заповнюють без пропусків і перекриттів весь натуральний ряд, якщо


0

Гіпотеза Акулича і явні формули


І.Ф. Акуліч запропонував гіпотезу: відношення кількості a-чисел до кількістю b-чисел прагне до В«золотого перетинуВ»


В 

(де a-числа - числа, належать послідовності, b-числа-числа, що належать послідовності).


[(1 +) n/2]

= [(1 +) n/2] + n = [(3 +) n/2]


Виведемо з явних формул гіпотезу Акулича. p> Позначимо


;


Розглянемо натуральне число N і з'ясуємо скільки a-чисел і b-чисел серед перших N натуральних чисел, якщо послідовності задані формулами:


;


Нерівності рівносильно, за визначенню цілої частини, нерівності

[(N +1) /]


Тоді відношення кількості a - чисел до кількості b-чисел дорівнює


В 

спрямується N до нескінченності, отримаємо


В 

Гіпотеза виявилася вірна, за умови що обидві послідовності і задані явними формулами


[(1 +) n/2]

= [(3 +) n/2]


Але Акуліч не перший здогадався представити послідовності і у вигляді [] і []. p> Ці ж явні формули виходять з формул Релея при x = 2/(1 +), оскільки при цьому величина 1-x дорівнює якраз 2/(3 +), тобто br/>В 

Виникає питання про єдиності розбиття множини N на дві послідовності.

У статті Баабабова [2] доводиться теорема, узагальнююча цей результат і стверджує, що таких разбиений натурального ряду існує нескінченно багато. Наведемо дану теорему та її докладний доказ. p> Позначимо


В 

Теорема.

Якщо і - позитивні ірраціональні числа, пов'язані співвідношенням, то серед чисел виду [] і [], де n, кожне натуральне число зустрічається рівно один раз. p> Доказ:

Оскільки> 1, в послідовності ніяке число не повторюється. Аналогічно внаслідок нерівності> 1 строго зростає і послідовність

Дійсно, нехай [] - k

В 

Отже, p> Доведемо тепер, що кожне натуральне число зустрічається рівно один раз.

Припустимо, що деяке натуральне число k увійшло в обидві послідовності т е k =, де m, n - натуральні числа. Тоді повинні бути виконані нерівності


k <

тобто

В 

складемо ці нерівності, не забуваючи про умову


В 

Отримаємо


В 

звідки k

Але такого для натуральних чисел не може бути. Значить, число k не могло увійти в обидві послідовності.

Тепер припустимо, що k не ввійшло в жодну з послідовностей. Тоді для деяких натуральних чисел m і n повинні виконуватися нерівності


m

n

які можна перетворити до вигляду


В 

складаючи, отримуємо


В 

звідки m + n k-1

Такого для натуральних чисел теж не може бути. Отримуємо протиріччя, отже, теорема доведена.

У наступному параграфі розглянуті вправи про розбитті натурального ряду, при вирішенні яких використовуються результати даного параграфа.


В§ 3. Вправи


Вправа 1


Нехай послідовність задана формулою


. Знайти.

В 

1 ... 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

В 

49 50

В 

Використовуючи цю формулу, можна знайти будь-яке a.


Вправа 2. br/>

Обчислити


n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

[(1 +) n/2]

1

3

4

6

8

9

11

12

<...


Назад | сторінка 2 з 4 | Наступна сторінка





Схожі реферати:

  • Реферат на тему: Ірраціональне число
  • Реферат на тему: Закріплення знань учнів з теми: "Числа 1-10 та число 0"
  • Реферат на тему: Число Пі
  • Реферат на тему: Число як суще
  • Реферат на тему: Число пі і реальна механіка