Зміст
Введення
. Основи теорії диференціальних рівнянь в приватних похідних
.1 Основні визначення теорії рівнянь в приватних похідних
.2 Фізичні задачі, що приводять до рівнянь в приватних похідних
. Використання імовірнісних методів у вирішенні рівнянь в приватних похідних
.1 Загальний опис методів Монте-Карло
.2 Рішення рівнянь в приватних похідних методом Монте-Карло на прикладі задачі Діріхле для рівнянь Лапласа і Пуассона
Висновок
Література
Введення
Для складних математичних моделей аналітичні рішення вдається отримати порівняно рідко. Тому серед наближених математичних методів основними методами вирішення завдань є чисельні. Ці методи дозволяють добитися хорошого якісного і кількісного опису досліджуваного процесу або явища.
Завдання Дирихле може бути сформульована таким чином: знайти функцію, безперервну в даній замкнутої області, гармонійну в області та приймаючу на її кордоні безперервні задані значення. У рамках даної роботи проведено розгляд рішення задачі Діріхле для рівняння Лапласа і рівняння Пуассона методом Монте-Карло на основі методу сіток.
Застосовуючи метод сіток для розв'язання крайових задач, насамперед, з'являється задача заміни диференціальних рівнянь різницевими рівняннями - задане диференціальне рівняння замінюється у вузлах побудованої сітки відповідним кінцево-різницевим рівнянням.
Ідея методу сіток сходить ще до Ейлера [17, c.83]. Однак практичне використання методу наражалося на серйозні труднощі, оскільки отримання достатньо точного розв'язку крайової задачі призводило до систем алгебраїчних рівнянь, на вирішення яких при ручному рахунку були потрібні витрати часу. Становище різко змінилося з появою швидкодіючих електронних обчислювальних машин.
Методами Монте-Карло називаються чисельні методи рішення математичних задач за допомогою моделювання випадкових величин і статистичної оцінки їх характеристик. У даній роботі наведено два методи рішення задачі Діріхле для рівняння Лапласа з використанням методом Монте-Карло, і на підставі одного з них наведена програма його реалізує.
Метою даної роботи є дослідження імовірнісних методів розв'язання рівнянь в приватних похідних.
Завдання роботи:
вивчення основних положень теорії диференціальних рівнянь в приватних похідних;
класифікація рівнянь в приватних похідних;
вивчення методів розв'язання рівнянь в приватних похідних;
вивчення методів Монте-Карло;
застосування методу Монте-Карло для вирішення задачі Діріхле для рівнянь Лапласа і Пуассона.
Об'єкт дослідження: диференціальні рівняння в приватних похідних.
Предмет дослідження: імовірнісні методи розв'язання рівнянь в приватних похідних.
Робота складається з двох розділів, вступу, висновків та списку літератури. У главі 1 наведені основні поняття теорії диференціальних рівнянь в приватних похідних та показано їх практичне застосування. У главі 2 наведено опис методів Монте-Карло в контексті завдань рішення рівнянь в приватних похідних.
1. Основи теорії диференціальних рівнянь в приватних похідних
. 1 Основні визначення теорії рівнянь в приватних похідних
Теорія диференціальних рівнянь - розділ математики, який займається вивченням диференціальних рівнянь і пов'язаних з ними завдань. Її результати застосовуються в багатьох природничих науках, особливо широко - у фізиці.
Неформально кажучи, диференціальне рівняння - це рівняння, в якому невідомою величиною є деяка функція. При цьому в самому рівнянні бере участь не тільки невідома функція, але й різні похідні від неї. Диференціальним рівнянням описується зв'язок між невідомою функцією і її похідними. Такі зв'язки виявляються в самих різних галузях знання: в механіці, фізиці, хімії, біології, економіці та ін.
Розрізняють звичайні диференціальні рівняння (ОДУ) і диференціальні рівняння в приватних похідних (УРЧП). Існують також стохастичні диференціальні рівняння (СДУ), що включають випадкові процеси [18, c.28].
Спочатку диференціальні рівняння виникли із завдань механіки, в яких брали участь координати тіл, їх швидкості і прискорення, що розглядаються як функції часу.
Одне з найпростіших застосувань диференціальних рівнянь - рішення нетривіальною задачі знаходження траєкторії тіла за відомими проекціям прискорення. Наприклад, у відповідності з другим законом Ньютона, прискорення тіла пропорційно сумі діючих сил; відповідне диференціальне рівняння має вигляд. Знаючи діючі сили (права частина), можна вирішити це рівняння і, враховуючи початкові умови (координати і швидкість в початковий момент часу)...
