Міністерство освіти і науки України
Донецький державний інститут штучного інтелекту
Донецький ліцей В«ІнтелектВ»
Кафедра математики та інформатики
Наукова робота
на тему: В«Застосування нерівностей при вирішенні олімпіадних завдань В».
(електронний підручник)
Виконала:
учениця 11-Г класу
Борисенкова О.Д.
Науковий керівник:
Степанов Т.Л.
Донецьк 2006
ЗМІСТ
Введення
1 Постановка завдання
2 Актуальність
3 Реалізація завдання
3.1 Теоретичні відомості
3.2 Рішення задач з застосуванням даних нерівностей
3.3 Збірник завдань
3.4 Тести
4 Інструкція по користуванню
Висновки
Список використаної літератури
ВСТУП
При вирішенні завдань, пропонованих на вступних письмових іспитах та олімпіадах з математики, можуть бути використані будь-які відомі абітурієнтам математичні методи. При цьому дозволяється користуватися і такими, які не вивчаються в загальноосвітній школі.
Все це свідчить про необхідність самостійного вивчення абітурієнтами математичних методів, в основі яких лежать поняття і положення, що не входять в програму з математики загальноосвітньої школи. До таких понять, наприклад, відносяться нерівності Коші, Коші-Буняковського, Бернуллі і Йенсена. br/>
1. ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ
Таким чином, метою даної роботи є розробка електронного навчального посібника, в якому буде запропоновано матеріал по обраною темою. Тобто в підручнику будуть надані теоретичні відомості з всім нерівностям, приклади застосування цих нерівностей у вирішенні олімпіадних завдань, збірник задач для самостійного рішення, рішення до них, а також тестові питання, які дозволять оцінити себе і перевірити рівень отриманих знань.
Для реалізації поставленого завдання була обрана мова електронної розмітки тексту HTML.
2. АКТУАЛЬНІСТЬ
Дана розробка розрахована на учнів, які мають досить-таки високий рівень знань у галузі математики, причому як в межах, так і поза шкільної програми, але все одно хочуть його підвищити. Тобто цей підручник буде дуже корисним для самостійного вивчення теми і підготовки до олімпіад ІІ-ІІІ етапів.
Також дуже зручний і простий у застосуванні, для роботи з ним не потрібно ніяких спеціальних програм або додаткових додатків, крім стандартного Internet-браузера.
Важливим пунктом є те, що в підручнику зібрана інформація по темі нерівностей, яку в принципі досить-таки складно знайти, причому так, щоб вона була в одному і тому ж друкованому виданні. Велика частина відомостей за деякими неравенствам була знайдена тільки в періодичних виданнях, журналах. Тут же все зібрано воєдино, інформація представлена ​​коротко, але вичерпно для того, щоб розібратися і зрозуміти.
3. РЕАЛІЗАЦІЯ ЗАДАЧІ
3.1 Теоретичні відомості
Нерівність Йенсена
Теорема (нерівність Йенсена):
Нехай - функція, опукла на деякому інтервалі, x 1 , x 2 , ..., x n - довільні числа з цього інтервалу, а О± 1 , О± 2 , ..., О± n - Довільні позитивні числа, сума яких дорівнює одиниці. Тоді:
. (1)
Доказ:
Розглянемо на графіку функції точки А 1 , А 2 , ..., А n з абсциссами х 1 , x 2 , ..., x n . Розташуємо в цих точках вантажі з масами, m 2 , ..., M n . Центр мас цих точок має координати
.
Так як точки А 1 , А 2 , ..., А n належать надграфіку опуклої функції, то і їх центр мас також належить надграфіку (бо надграфік - опукла фігура). А це означає, що ордината центру мас М не менше ординати точки на графіку з тією ж абсцисою (рис. 1), тобто
. (2)
В
рис. 1
Для завершення докази залишається покласти m 1 = О± 1 , ..., M n = О± n . p> Однак є два важливі зауваження. По-перше, в процесі докази нерівності Йенсена (1) ми довели нерівність (2). На самому ділі ці нерівності рівносильні. Поклавши в нерівності (1) (i = 1, 2, ..., n), ми отримуємо нерівність (2). Тому природно ці дві нерівності називаються нерівностями Йенсена. Нерівність (1) виглядає більш компактно, проте для додатків зручніше користуватися нерівністю (2). По-друге, якщо функція увігнута, то для неї нерівності Йенсена (1) і (2) змінюються на протилежні. Щоб довести це, досить розглянути опуклу функцію.
...
