ЗМІСТ
Вступ
1. Збіжність ряду в нормованому пространстве
2. Збіжність ортогонального ряду в гільбертовому пространстве
. Ортонормована система. Ряд Фур є за ортонормованих системою
. Базису в нормованому пространстве
5.Трігонометрічній ряд Фур'є в
.Деякі Властивості біортогональніх систем
.Біортогональні системи в Деяк бананових просторах
.Деякі Властивості базісів бананових просторів
.Деякі! застосування рядів в бананових просторах
Висновки
Список використаних джерел
ВСТУП
,,, (0)
Ряд назівається Ортогонально в евклідовому пространстве зі скалярним добутком, если. Если Ортогонально ряд є збіжнім в евклідовому пространстве до елемента, то его КОЕФІЦІЄНТИ знаходяться за формулою. Система елементів евклідового простору назівається біортогональною до системи, если. Если система є ортогональними, то вона має біортогональну систему і. Если ряд є збіжнім в евклідовому пространстве до елемента, и система має біортогональну систему, то КОЕФІЦІЄНТИ знаходяться за формулою.
Метою курсової роботи є Вивчення біортогональніх систем в банановому пространстве.
1. Збіжність ряду в нормованому пространстве
Нехай - зліченна підмножіна нормованого простору. Ряд
(1)
назівається збіжнім в, если такий існує елемент, что
(2)
При цьом назівається сумою ряду (1) i цею факт запісується так:
. (3)
Теорема 1 . Если (1) є збіжнім в нормованому пространстве , то его загальний член прямує до нуля в
Доведення . Справді,.
Теорема 1 . Для того, щоб ряд (1) БУВ збіжній в банаховому пространстве , необходимо и достаточно, щоб
. (4)
Доведення . Справді, збіжність ряду (1) рівносільна збіжності послідовності. Але. Звідсі и повнотіла віпліває тверджень теореми.
Ряд (1) назівається нормально збіжнім або абсолютно збіжнім в топології простору, если збіжнім в є ряд
. (6)
Теорема 2 . Если ряд (1) є нормально збіжнім в банаховому пространстве , то ВІН є збіжнім в .
Доведення . Справді, це віпліває Із теореми 1 і нерівності
.
Приклад 1 . Ряд є нормально збіжнім в , оскількі
Приклад 2 . Оскількі , то ряд є розбіжнім в пространстве .
2. Збіжність ортогонального ряду в гільбертовому пространстве
Система елементів евклідового простору назівається ортонормованих если
Теорема 1 . Нехай - ортонормована система гільбертового простору . Для того, щоб ряд
, .
БУВ збіжнім в , необходимо и достаточно, щоб .
Доведення . Справді, це віпліває Із рівностей
и теореми 1 попередня пункту.
Приклад 1 . Ряд , де ..., є збіжнім в , оскількі система є ортонормованих в < i> и ряд є збіжнім в .
3. Ортонормована система. Ряд Фур є за ортонормованих системою
У курсі Алгебра і геометрії показується, что если - -мірній евклідовій простір, - его базис, - Координатори вектора в цьом базісі, то і. Мі розглядаємо аналог цього тверджень для нескінченно вімірніх просторів и числа будемо назіваті НЕ координаторами вектора, а коефіцієнтамі Фурє. Нехай - евклідовій простір, - зліченна система елементів простору. Система назівається ортонормованих, если
Числа назівається коефіцієнтамі Фур'є елемента за ортонормованих системою, а ряд
(1)
поруч Фур'є елемента за цією системою. Елемент
(2)
назівають -им поліномом Фур є або -ю Частинами сумою ряду Фур є, а елемент
, (3)
де - довільні Сталі (дійсна, если - Дійсний, комплексні, если - комплексний), назівають поліномом порядку за системою. Відхіленням полінома від елемента назівається число, тобто Відхилення - це відстань в между і.
Теорема 1 . Нехай - ортонормована система евклідового (дійсного або комплексного) простору . Тоді среди всех поліномів порядку найменша Від...
