Введення
Цифрові системи - це системи з цифровими сигналами на вході і виході. Їх ядром зазвичай є ЦВМ. Людство створило мало об'єктів, що мають цифровий природу, тому загальний термін цифрова система застосовується рідко. Набагато частіше зустрічаються терміни цифровий фільтр або система цифрового управління, які яскраво відображають основну область застосування цих систем. Нерідко систему цифрового управління, так само називають цифровим фільтром. Отже, цифровий фільтр - це дискретно-часова система, вихідний сигнал якої є модифікованою версією вхідного сигналу.
Фільтри є основою для більшості додатків обробки сигналів. Типове призначення - це витяг або вирізка області спектру вхідного сигналу або певної частоти. Використовувані для кондиціонування сигналів фільтри нерідко називаються частотно селектірующімі, оскільки зазвичай розробляються на основі вимог до частотній характеристиці.
Методи розрахунку Бих-фільтрів
Розрахунок Бих-фільтрів можна вести в частотної та тимчасової областях. При розрахунку в частотній області використовується синтез по аналоговому і цифровому прототипам. Чисельні методи розрахунку розроблені для застосування в частотній і часовій областях.
Синтез по аналоговому прототипу заснований на перетворенні p-площини в z-площину, а характеристик і параметрів аналогових фільтрів у відповідні характеристики та параметри цифрових фільтрів. Передавальна функція аналогового фільтра на p-площини в загальному вигляді може бути записана так
. (1)
Для переходу до функції і різницевого рівняння ЦФ існують наступні чотири методи.
Метод 1. Відображення диференціалів. Це найбільш простий метод, сутність якого полягає в заміні диференціалів на кінцеві різниці. У операторному рівнянні (1), якщо диференціали замінюються прямими різницями, то
або,
а якщо зворотними, то
або
Недоліком методу є неповне відповідність частотно-виборчих властивостей ЦФ властивостям аналогового прототипу. Крім того, при використанні прямих різниць стійкий аналоговий фільтр - прототип відображається в нестійкий ЦФ. Тому, незважаючи на простоту, застосовувати цей метод не рекомендується.
Метод 2. Інваріантне перетворення імпульсної характеристики (стандартне Z-перетворення). Суть методу полягає в розрахунку імпульсної характеристики (ІХ) ЦФ по аналоговому прототипу і обчисленні системної (передавальним) функції ЦФ.
Перевагою даного методу є подобу імпульсних характеристик ЦФ і аналогового прототипу; простота. Недоліком же є наявність ефекту накладення частотних характеристик ЦФ, якщо смуга пропускання аналогового прототипу перевищує. Тому точність розрахунків ЦФ по даному методу тим вище, чим менше відношення
В
де - верхня частота смуги пропускання ЦФ; - частота дискретизації.
Метод 3. Узгоджене Z-перетворення. Полюси і нулі аналогового прототипу на p-площини відображаються в полюси і нулі ЦФ на z-площині за правилом
В
Для реалізації цього методу передавальну функцію аналогового прототипу представляють у вигляді твору співмножників
В
де, - дійсні або комплексно-зв'язані коефіцієнти. Метод узгодженого Z-перетворення не застосуємо, якщо передавальна функція аналогового прототипу має тільки полюси (нулі розташовані в нескінченності). Для усунення цього недоліку при розрахунках фільтрів з нулями у нескінченності рекомендується вводити полюс того ж порядку, що і нуль, в точці.
Метод 4. Білінійної (дрібно-лінійне) Z-перетворення. При відображенні p-площини в z-площину вся уявна вісь, відображається в одиничну окружність. Для цього необхідно вибирати нелінійну монотонну функцію частоти. Ця функція повинна змінюватися в межах від до на осі частот дискретизації при зміні від до. В якості такої функції комплексних частот можна вибрати гіперболічний тангенс
або, (2)
яким при відповідає звичайний тангенс
.
Гіперболічний тангенс у вираженні (2) можна представити таким чином
. (3)
Таким чином, комплексна площину p перетворюється в комплексну z-площину заміною змінних (3).
За допомогою білінійних Z-перетворень можна від аналогового ФНЧ прототипу перейти до ЦФ нижніх частот (НЧ), верхніх частот (ВЧ), смуговому, режекторние, гребінчастий та ін
білінійну Z-перетворення має такими достоїнствами: по-перше, фізично реалізований і стійкий аналоговий фільтр відображається в фізично реалізований і стійкий ЦФ: по-друге, відсутні проблеми, пов'язані з накладаннями: по-третє, нелінійність шкали частот ЦФ, перетвореного з прототипу, можна врахувати для широкого класу фільтрів.
Недоліком цього методу є не збіг імпульсної та фазової характеристик розрахованого прототипу, тому необхідно вводити коректори і ускладнювати конструкцію ЦФ. Проте метод білінійної Z-перетвор...
