Метод найменших квадратів у випадку інтегральної і дискретної норми Гаусса
1. Постановка завдання
При вирішенні багатьох завдань фізики та інших прикладних наук виникає необхідність замість функції, розглядати функцію, що представляє функцію як можна В«добреВ». p> Наприклад: може бути, зокрема, і безперервної функцією на, а відповідна - алгебраїчним або тригонометричним многочленом, який В«досить добреВ» наближає функцію. p> Наприклад: всяку функцію з можна уявити наближено відповідним многочленом ступеня з допомогою формули Тейлора:
(1)
тобто
; (2)
де, - многочлен ступеня, що наближує функцію, - залишковий член. Ясно, що
(3)
тобто - Характеризує абсолютну похибка наближення функції многочленом в точці.
Відомо також, що можна наблизити з тригонометричного многочлена - відрізання ряду Фур'є.
У твердження, що функція добре наближає функцію на компакті, може бути вкладений різний зміст. Наприклад:
а) можна зажадати, щоб наближає функція збігалася з в точках проміжку, тобто виконувалися умови, для. p> Якщо - многочлен ступеня, то розглянутий процес наближення називається параболічним интерполированием чи процесом побудови інтерполяційного многочлена (приватним прикладом є многочлен Лагранжа, тобто ); p> б) функцію можна вибрати так, щоб норма - відхилення нев'язки - досягала мінімального значення, причому норма може бути визначена по-різному, і різним нормам відповідають різні ступені наближення.
У функціональному просторі Гільберта, нормі нев'язності має вигляд (інтегральна норма Гаусса):
(4)
часто, в як норми розглядають чебишовських норму (Т - перша літера прізвища Чебишева німецькою мовою):
(5)
При використанні норми (5) говорять про рівномірний наближенні функції, функцією. p> Детальна теорія Т-наближень була розвинена в роботах німецького математика Л. Коллатц. p> На практиці, для оцінки характеру наближення, часто застосовують метод найменших квадратів, при якому нев'язка обчислюється з дискретної нормі Гауса:
(6)
Ясно, що метод найменших квадратів (6) - є дискретним аналогом функції Гаусса (4). p> Принципову можливість наближення будь-якої неперервної функції многочленом дає теорема Вейєрштрасса: Якщо, тоді, - многочлен, що має місце нерівність:
(7)
2. Метод найменших квадратів у разі наближення функції
Ми раніше розглядали задачу апроксимації результатів неточного експерименту лінійною функцією. Зараз розглянемо загальний випадок, коли функція наближається деякою системою лінійно незалежних функцій. p> Як відомо, для лінійної незалежності системи функцій необхідно і достатньо, щоб визначник Грама цієї системи був відмінний від нуля, тобто
(8)
де означають скалярні твори. Тоді для наближення (апроксимації) функції застосовується лінійна комбінація системи базисних функцій, тобто
(9)
У наближає функції, невідомими є коефіцієнти розкладання, які підбираються з умови мінімуму нев'язки, підраховується за відповідній нормі. Взагалі кажучи, є елементом лінійної оболонки, натягнутої на систему базисних функцій.
2.1 Квадратичне наближення таблично заданої функції з дискретної нормі Гаусса
Розглянемо завдання наближення функції в разі використання нев'язки у формі (6). Тобто використовуємо дискретну норму Гаусса:
(10)
де невідома функція апроксимується функцією з (9). Для відомі лише значення в різних точках, тобто , Де. Таким чином, для визначення маємо задачу: знайти точку мінімуму - нев'язки функції Гаусса - для таблично заданої функції, якщо
, (де). (11)
Очевидно, що умови мінімуму дискретної функції нев'язки Гаусса - мають вигляд:
, (12)
Ці умови для (11) перетворюються до вигляду:
, (13)
Розкриваючи систему (13) отримуємо систему рівнянь для визначення коефіцієнтів розкладання у вигляді:
(14)
Неважко побачити, що вводячи скалярні твори у відповідному функціональному просторі в вигляді:
(15)
систему (14) можна переписати у нормальному вигляді Гауса:
(16)
Ясно, що ця система має єдине рішення, тому що визначник системи (16) збігається з визначником
Грама для базисних функцій - яка відмінна від нуля внаслідок лінійної незалежності базисних функцій.
Знайшовши із системи (16) і підставляючи в (9) ми...
