Задача 1. Знайти екстремум функціоналу при
Рішення
Знайдемо приватні похідні подинтегральной функції:
;.
Обчислимо повну похідну за x від F y ' за формулою диференціювання складної функції:
функція лінійне різницеве ​​рівняння екстремум
В
Маємо.
Складаємо диференціальне рівняння Ейлера види:
.
Тобто або (1).
Це ЛНДУ другого порядку з постійними коефіцієнтами. Характеристичне рівняння - характеристичні числа. Отже, загальне рішення однорідного рівняння буде. Т.к. ми маємо неоднорідне рівняння зі спеціальною правою частиною, приватне рішення неоднорідного рівняння знайдемо методом невизначених коефіцієнтів. Права частина є многочлен нульової ступеня, помножений на синус, тому. Підставимо це рішення у вихідне рівняння:
В
Тоді загальне рішення рівняння (1) має вигляд
.
Для знаходження довільних постійних C1 і C2 підставимо отримане рішення в граничні умови:
В
і тоді рівняння екстремал має вигляд:
.
Перевіримо достатні умови сильного екстремуму:
а) для перевірки умови Якобі складемо рівняння Якобі види:
.
Т.к. , Рівняння Якобі має вигляд:
або.
Його загальне рішення є.
З умови, тобто , Маємо. Тобто u (x), що задовольняє умові, має вигляд, де С - константа. Так як нетривіальне рішення рівняння Якобі при, то умова Якобі виконується. p> б) перевіримо умова Лежандра: оскільки Fy'y '= 2> 0 при будь-яких y', то на кривій досягається місцями мінімум. Очевидно, на цій же кривій досягається і слабкий мінімум. p> Значення функціоналу на знайденій екстремал дорівнює приблизно -79,3784 (обчислено в математичному пакеті Maple).
Відповідь: -79,3784 досягається на кривій.
Завдання 2. Знайти
Рішення
Для обчислення скористаємося наступним властивістю:
В
і відомим значенням гамма-функції
.
Тоді маємо
,
у свою чергу
В
і так далі, таким чином, отримаємо, що
В
Відповідь:.
Задача 3. Знайти рішення рівняння yk +2 - 19 yk = 4k, y0 = 1, y1 = 1. p> Виконати перевірку рішення
Рішення
Маємо неоднорідне лінійне різницеве ​​рівняння з постійними коефіцієнтами. p> Його загальне рішення має вигляд, де у - спільне рішення відповідного однорідного рівняння, - якесь приватне рішення неоднорідного рівняння.
Характеристичне рівняння
- характеристичні числа. Т.к. вони дійсні і різні, то
.
Т.к. ми маємо неоднорідне рівняння зі спеціальною правою частиною, приватне рішення неоднорідного рівняння знайдемо методом невизначених коефіцієнтів. Права частина є поліном нульового ступеня, помножений на дійсне число ступеня k, що не співпадає ні з одним з характеристичних чисел, тому. Підставимо це рішення у вихідне рівняння:
В
Отже, рішення вихідного різницевого рівняння є
=.
Довільніпостійні рішення С1 і С2 знайдемо, використовуючи початкові умови:
;
.
В
Остаточно маємо рішення
.
Перевіримо рішення:
, підставимо у вихідне рівняння, отримаємо
В В В
Відповідь:.
