єктівною, назівається бієктівною або взаємнооднозначною (рис. 2.9, в).
Малюнок 2.9 - Властивості функцій
Можна привести ще одне визначення взаємнооднозначної Функції.
Визначення. Функція назівається взаємнооднозначною, если вона переводити Різні елементи в Різні. Тобто з умови прямує.
Если - обернене відношення до взаємнооднозначного функціонального відношення, то візначає функцію, якові назівають оберненою до Функції.
Ін єктивна функція має обернену функцію.
Функція, оберніть до бієктівної, є відображенням не так на множини, а в множини.
Взаємноодназначність Функції Зручне доводіті віходячі з міркувань: ж умови прямує raquo ;.
Приклад. Чі є функція взаємнооднозначною?
розв язання:
;.
З умови прямує;
.
Отже и функція є взаємноодназначною.
Визначення. Нехай - функція Із множини в множини, тобто. Обернене відношення візначається як. При цьом назівається перетворенням Функції, или ее оберненою функцією.
Приклад. Знайте функцію, обернену до даної:.
розв язання:
Обертаючі функцію, одержуємо, но це ті ж самє, что і. Вірішуючі Рівняння відносно, одержуємо.
Тобто, если, то.
ВІДПОВІДІ на питання, чи є представленими відношення функцією и чі є функція взаємнооднозначною, можна легко здобудуть помощью его графічної ілюстрації.
Відповідно до визначення Функції, Ніякі дві різніх елементи відношення НЕ могут мати однакове Першів координат. Отже, промінь, спрямованостей паралельно осі, винен перетінаті графік відношення НЕ более одного разу. Тому що взаємнооднозначні Функції переводящем Різні елементи в різні, то промінь, спрямованостей паралельно осі, винен перетінаті графік відношення теж НЕ более одного разу.
Приклад. З'ясувати, чи є дані відношення функціямі? Если так, то чи будут смороду взаємнооднозначні? У випадка позітівної ВІДПОВІДІ, знайте обернені Функції:
а); б);
в).
розв язання:
а) відношення НЕ є функцією, тому что існує дві різніх елементи, что мают однакові Перші координат (рис. 2.10, а);
б) відношення є функцією, тому что НЕ існує елементів, что мают однакові Перші координати. Дана функція НЕ є взаємнооднозначною, того что існують елементи, что мают однакові другі координати (рис. 2.10, б);
в) відношення є функцією. Дана функція є взаємнооднозначною, того что переводити Різні елементи в Різні (рис. 2.10, в). Знайдемо функцію, обернену до даної:
;
;
;
.
Малюнок 2.10 - Віді відношень
Визначення. Нехай дані две Функції І, де - довільні множини. Функція определена на і пріймає значення на, а функція определена на і пріймає значення на. Если для шкірного знайдеться такий елемент, что, то така відповідність между множини и назівається композіцією або суперпозіцією функцій й й позначається (рис. 2.11).
Малюнок 2.11 - Композиція функцій
Приклад. Функції и задані на множіні дійсніх чисел. Знайте композіцію функцій і.
розв язання:
;
.
3. Алгебраїчні системи
3.1 Поняття бінарної алгебраїчної операции
Кожна математична теорія вівчає множини, на якіх введені певні відношення. Алгебра вівчає множини, на якіх візначені відношення, что мают Назву алгебраїчніх операцій. З прикладами алгебраїчніх операцій ми зустрічаліся ще в шкільному курсі математики, а такоже Вивчаючи Інші розділи вищої математики. Прикладами алгебраїчніх операцій є Додавання и множення чисел, многочленів, алгебраїчніх дробів, Додавання векторів площини, Додавання матриць, про єднання и переріз множини, Додавання и множення функцій (например, сінусів и косінусів), композиція відображень ТОЩО. ЦІ операции віконуються над парами елементів однієї и тієї ж множини: над парами чисел, многочленів, векторів, функцій. Тому їх назівають бінарнімі алгебраїчнімі операціямі або просто бінарнімі операціямі. Дамо нижчих загальне Означення бінарної алгебраїчної операции, якому, зокрема, задовольняють перелічені вищє операции.
