гістограма все більше наближається до плавної кривої, що обмежує одиничну площу, - до графіка диференціальної функції розподілу.
При побудові гістограм рекомендується користуватися такими правилами:
) Число r інтервалів вибирається залежно від числа спостережень n (при n=4-100 r=7-9; при n=100-500 r=8-12; при n=500-1000 r=10-16; при n=1000-10000 r=12-22);
) Довжини інтервалів зручніше вибирати однаковими. Однак якщо розподіл вкрай нерівномірно, то в області максимальної концентрації результатів спостережень слід вибирати більш вузькі інтервали;.
) Масштаби по осях гістограми повинні бути такими, щоб ставлення її висоти до основи становило приблизно 5: 8.
Після побудови гістограми треба підібрати теоретичну плавну криву розподілу, яка, висловлюючи всі істотні риси статистичного розподілу, згладжувала б всі випадковості, пов'язані з недостатнім обсягом експериментальних даних. Принциповий вид теоретичної кривої вибирають заздалегідь, проаналізувавши метод вимірювання або хоча б за зовнішнім виглядом гістограми. Тоді визначення аналітичного вигляду кривої розподілу зводиться до вибору таких значень його параметрів, при яких досягається найбільше відповідність між теоретичним і статистичними розподілами.
Одним з методів вирішення цього завдання є метод моментів. При його використанні параметрах теоретичного розподілу надають такі значення, при яких кілька найважливіших моментів збігаються з їхніхстатистичними оцінками. Так, якщо статистичний розподіл, визначуване гистограммой, наведеною на малюнку 1.1, ми хочемо описати кривої нормального розподілу, то природно вимагати, щоб математичне сподівання і дисперсія останнього збігалися із середнім арифметичним і оцінкою дисперсії, обчисленим по досвідченим даним.
Далі законно виникає питання, пояснюються чи розбіжності між гістограмою і підібраним теоретичним розподілом тільки випадковими обставинами, пов'язаними з обмеженим числом спостережень, або вони викликані тим, що результати спостережень насправді розподілені інакше.
Для відповіді на це питання використовують методи перевірки статистичних гіпотез. Ідея їх застосування полягає в наступному. На підставі гістограми, отриманої при обробці дослідних даних, будується гіпотеза, яка полягає в тому, що результати спостережень підкоряються розподілу F (x) з щільністю р (х).
Для того щоб прийняти або спростувати цю гіпотезу, вибирається деяка величина U, що представляє собою міру розбіжності теоретичного і статистичного розподілів. В якості міри розбіжності можна прийняти суму квадратів різниць частостей і теоретичних ймовірностей попадання результатів спостережень в кожен інтервал, узятих з деякими коефіцієнтами:
, (1.3)
де Cj - коефіцієнти, звані вагами розрядів, Pj - теоретичні ймовірності, що визначаються як
(1.4)
Тут р (х) - передбачувана щільність розподілу.
Міра розбіжності U є випадковою величиною і, як показав К.Пирсона, незалежно від вихідного розподілу підпорядковується c2 - розподілу з k ступенями свободи. Якщо всі частоти mj? 5 і число вимірювань прямує до нескінченності, то ваги Cj вибираються рівними (n/pj). Число ступенів свободи розподілу k=r - s, де r- число незалежних зв'язків, накладених на частості pj *.
Якщо перевіряється гіпотеза про нормальність розподілу, то до числа цих зв'язків відносяться рівність середнього арифметичного і точкової оцінки дисперсії відповідно математичному очікуванню і дисперсії передбачуваного нормального розподілу. Крім того, завжди потрібно, щоб сума частостей по всіх інтервалах була дорівнює одиниці. Тому в даному випадку s=3.
Міра розбіжності U, Вибраний за К. Пирсону, позначається через cк2. Для зручності обчислення можна записати у вигляді
(1.5)
По таблиці А1 можна при заданій довірчій ймовірності a=1-q знайти той довірчий інтервал (c до 2; q/2 і c до 2; 1-q/2) значень c до 2 в який міра розбіжності може потрапити по чисто випадковим причин.
Якщо обчислена по досвідченим даним міра розбіжності c до 2 опиниться в зазначеному інтервалі, то гіпотеза приймається. Це, звичайно, не означає, що гіпотеза вірна. Можна лише стверджувати, що вона правдоподібна, тобто чи не суперечить досвідченим даним. Якщо ж c до 2 виходить за межі довірчого інтервалу, то гіпотеза відкидається як суперечить досвідченим даним.
Оскільки перевірка гіпотези грунтується на досвідчених даних, то при ухваленні рішення завжди можливі помилки. Відкидаючи насправді вірну гіпотезу, ми здійснюємо помилку першого роду. Імовірність помилки першого роду називається рівнем значущості і становить q=1 a. Беручи насправді невірну гіпотезу, ми здійснюємо помилку...
