арів, написання пізніше.
розв язання задачі Герона.
Нехай В1 - точка, симетрично в відносно прямої l. З єднаємо А і В1. АВ1 перетінається Із прямою l и дает шукану точку D (див. Малий. 1).
Дійсно, для будь-якої точки D`, відмінної від D, має місце Рівність
Тут и далі ми будемо використовуват следующие Позначення: - відрізок, зєднуючій точки А і В, - довжина відрізка, АВ? CD - пряма АВ паралельна CD.
У нерівності (1) ми вікорістовувалі Властивості сіметрії, Із якої слідує Рівність и нерівність трикутника завдання розвязана.
Відповідь: Шукало D володіє властівістю, что кут? дорівнює куту? (див. малий. 1), а такоже кут? 1 дорівнює куту? 2, або можна Сказати так, кут Падіння Рівний куту відбіття.
Попробуємо тепер, вікорістаті ідею, Закладення у Щойно проведеному міркуванні, розвязати следующие задачі.
Завдання 1. Даній кут и точка С Всередині него. Знайте точки А і В на сторонах кута, так щоб периметр трикутника АВС БУВ найбільшім.
Завдання 2. Даній кут и две точки С і D Всередині него. Знайте точки А і В на сторонах кута так, щоб сума Довжина булу найменша.
Повернемося до задачі Герона. Герон досліджує у своїй Книзі закони відбіття світла и предлагает свои доміслі до запитань, звязаних Із властівостямі дзеркал. Зокрема. ВІН доводити, что параболічне дзеркало фокусує пучок променів, паралельних осі параболи.
У ту пору закони природи намагаюся осягнути умоглядно, з помощью логічніх роздумів, не звертаючи до експеримент. У нас ще буде привід поговоріті про Зародження сучасної науки, что спірається на досвід. Першів експеріментатором в истории БУВ Г. Галілей, Який живий у XVII столітті, Герон при пояснені Законів відображення шукав для них логічну підставу. ВІН Вислова пропозіцію, что природа Діє найкоротшім путем. Вісь як пише про це одна Із его коментаторів Доміанос: «Герон ... показавши, что Прямі, наклонені під рівнімі кутамі, є самими меншими Із усіх проміжніх, Які утворюють нахілі з однієї и тієї ж Сторони и от однієї и тієї ж прямої. Доводячі це, ВІН говорити, что если природа не хоче попросту обводіті промінь зору, то вона зламає їх під рівнімі кутами ».
Досліднікі истории науки пріпускають знає, що тут Вперше прозвучала думка про том, что природа Керує Єкстремальний принципами. Ідею Герона розвив Ферма. Ферма Вивів відомій до того годині закон заломлених світла від одної точки до Іншої в неоднорідному середовіщі характерізується тім, что уздовж неї витрачатися найменша годині. Починаючі з того моменту, ідея екстремальності проявів природи становится провідною зіркою Всього природознавства. На підтвердження и були наведені як епіграф слова Ейлера. Відкладемо поки що Обговорення дівовіжності цього феномену, но факт залішається фактом: Траєкторії світла и радіохвіль, рух маятніків и планет, течії рідін и газів и много других Рухі віділяються з різноманіття всех можливіть рухів тім, что смороду є рішеннями Деяк Завдання на максимум або мінімум. Ця обставинні віявляється пліднім засобими математичного Опису природи.
Вісь у чому Полягає перша причина, что спонукає вірішуваті Завдання на максимум и мінімум и розвіватіся Теорії екстремальний Завдання. Вона привела в ХВІ столітті до создания спеціального розділу цієї Теорії, Який БУВ назв варіаційнім Обчислення.
Друга причина кріється в нас самих. Людям властіво Прагнення до кращого, и того Їм всегда хочеться вібрато оптимальний з наявний можливіть. Трапляється, что математика может тут помочь.
обговоримо це, и нехай знову Завдання Герона послужити нам прикладом. Іноді в підручніках Їй Надаються вид проблеми, что вінікає на практике. Тоді пряма l становится, скажімо, прямолінійнім ділянкою залізниці, точки A и B - містамі, точка D - залізнічною платформи. І постає питання: де слід поставити платформу, щоб з'єднують ее з містамі прямолінійні шосейні ділянки малі найменша сумарная Довжину?
Вісь ще кілька геометричних завдань, Які могут мати прикладне значення.
Завдання 3. Нехай є три міста - A, B и C. Потрібно вказаті таке місце D, щоб сумарная довжина прямолінійніх ділянок шосе, что з'єднують D з A, B и C, булу мінімальною.
Завдання 4. Ті ж самє, что и в задачі 3, но для чотірьох міст.
Завдання 5. Чі змініться решение попередньої задачі, если поставити питання про найменшій довжіні шосейної дороги, з єднує 4 міста, и при цьом не уточнив, что всі шляхи повінні з єднуватіся в одній точці?
звічайна, такого роду Завдання являються собою лишь моделі реальних жіттєвіх СИТУАЦІЙ. На практике все идет набагато складніше: і ділянки залізної дороги не бувають прямолінійнімі, и шосе НЕ будують Суворов за прямими, и «торба відстаней» в чистому виде Рідко буває «крітерієм оптімальності». Альо без сумніву, что и при будівництві залізних, Шосейна або других доріг, так само ...
