. Тому через всякі две точки сфери, Які НЕ є діаметрально протилежних, проходити єдина велика окружність (рис.1.4). Цей факт Цілком аналогічній того, что на площіні через всякі две точки проходити єдина пряма. Через две діаметрально протілежні точки сфери, навпаки, можна провести нескінченну безліч великих Кіл. Аджея Всілякі две діаметральні площіні СФЕРИ перетінаються за ее діаметра, то всякі две Великі кола перетінаються в двох діаметрально протилежних точках сфери (рис. 1.6) Тут ми спостерігаємо Відміну сферічної геометрії від плоскої геометрії, в Якій две Прямі перетінаються НЕ більш чем в одній точці.
Так як площинах діліть простір на две області, то велика окружність діліть сферу на две області; ЦІ області назіваються півсферамі, а сама окружність - краєм ціх півсфер. Далі, оскількі две Перехресних площіні ділять простір на Чотири області, то две Великі кола ділять сферу на Чотири області. Нарешті, так як трьох площини, что перетінаються в одній точці, ділять простір на Вісім областей, то три Великі кола, Які НЕ перетінаються в одній точці, ділять сфери на Вісім областей
1.3 Відстань между двома точками на сфере
Важлива є Поняття про найкоротшу відстань между двома точками на сфере. У геометрії Евкліда найкоротшою відстанню между двома точками є відрізок прямої, что сполучає ЦІ точки. На сфере найкоротшою відстанню между точками є дуга великого кола, что проходити через ЦІ точки. Як известно, через две точки площини (і простору) можна навести пряму и только одну. Так само через две точки на сфере, Які НЕ є діаметрально протилежних, всегда можна провести ровері коло и только Одне.
На пряму на площіні НЕ нужно накладаті ніякіх обмежень, а на ровері коло, на точки А і у сфері ми наклав умову, щоб смороду НЕ булі кінцямі одного й того самого діаметра, бо тоді можна провести Вже НЕ Одне ровері коло, а безліч. У цьом перша аналогія ї відмінність между великими колами СФЕРИ й прямой на площіні.
Переконаємося, что дуга великого кола є найкоротшою відстанню между точками на сфере.
Довжина найкоротшої Лінії, что сполучає две точки А і В сфері, назівається Сферичність відстанню между точками А і В.
Теорема 1. Сферичність відстанню между двома точками на сфере є дуга великого кола, Менша від 180 °.
Рис. 3
Нехай А і В - две точки СФЕРИ О (рис. 3). Через хорду АВ можна провести безліч площинах, шкірні з якіх перетінатіме сферу по Деяк колу. Серед ціх Кіл найбільшім є ровері коло. Для доведення теореми й достатньо показати, что среди усіх дуг сфери, для якіх відрізок АВ - Спільна хорда, найменша є дуга великого кола.
Під дугою великого кола, что сполучає две точки, або просто дугою, будемо розуміті дугу, Меншем від 180 °. Дійсно, вмістімо всі дуги в одну площинах великого кола поворотом шкірного кола вокруг Хорді А, причому нехай Менші з двох дуг АВ шкірного кола лежатімуть з одного боці від Хорді А. З двох таких дуг Меншем буде та, яка має більшій радіус (рис. 1.9 ).
Нехай r - радіус дуги АВС БІЛЬШОГО кола з центром у точці О, а r 1 - радіус дуги АС 1 У меншого кола з центром у точці О 1. Тоді з трикутника ГО 1 А маємо: Про Про 1 + r 1 gt; r або ОС 1 gt; ОС. Оскількі радіус дуги великого кола буде найбільшім, то дуга АВ цього кола буде найкоротшою. Це дает підставу стверджуваті, что ровері коло на сфере має схожість з пряму на площіні.
Альо ї тут между ними є Деяка відмінність. Через две точки на сфере, что не лежати на кінцях одного й того самого діаметра, можна провести єдине ровері коло, при цьом дані две точки поділяють коло на две нерівні части (рис. 4) - на Меншем часть АМВ и більшу ВNА. Оскількі сума ціх дуг дорівнює 360 °, то Менша дуга АМВ Менша 180 °, а більша дуга ВNА більша 180 °. Очевидно, что тверджень про найкоротшу відстань стосується только дуги АМВ, меншої від 180 °. Тому не Випадкове ця Умова є в теоремі 1. Отже, дуга великого кола, Менша від 180 °, є найкоротшою лінією на сфере.
Рис. 4
Щоб не делать шкірного разу таких обмежень относительно найкоротшої відстані между двома точками на сфере, у сферічній геометрії, Ейлер предложили, розглядаті только дуги, Менші від 180 °. Ця пропозиція Ейлера відома під Назв обмеження Ейлера. Дійсно, если дотримуватись обмеження Ейлера, то ні в Попередній, ні в Щойно розглянутій аналогії между дугою великого кола й прямою на площіні НЕ нужно накладаті Додатковий умів.
Існує й третя аналогія, а самє: две Прямі на площіні перетінаються только в одній точці; две дуги великих Кіл, Які задовольняють обмеження Ейлера, перетінаються в одній точці. Отже, точка на сфере візначається Перетин двох дуг вели...
