ого відносно і виключаємо дифференцированием:
або
т.е. ми, дійсно, отримали рівняння типу Риккати.
Якщо відомі два приватних рішення рівняння Риккати, то загальне рішення знаходиться однієї квадратурою. Справді, якщо, крім рішення відомо друге рішення то для рівняння (1.3) відомо одне приватне рішення а в такому випадку ми знаємо, що рішення його вимагає однієї квадратури.
Нарешті, якщо відомі три приватних рішення рівняння Риккати, то загальне рішення знаходиться без квадратур. Нехай ці три рішення рівняння (1.1) суть як і в попередньому випадку, переконуємося в тому, що рівняння (1.3) має два відомих приватних рішення: і в такому випадку загальний розв'язок рівняння (1.3) напишется так:
або, замінюючи його зі значенням переносячи перший член правій частині вліво, множачи обидві частини на і дозволяючи щодо
Це і є загальний інтеграл рівняння Риккати.
Зауважимо, що якщо замість підставити яке-небудь четверте приватне рішення, то отримаємо:
т.е. ангармонічного ставлення будь-яких чотирьох приватних рішень рівняння Риккати одно постійному.
. Рівняння ріккаті спеціальне є окремий випадок рівняння (1.1); воно має вигляд:
(1.4)
де і? ??- постійні; для визначеності ми будемо розглядати інтервал зміни для Легко угледіти два випадки, коли це рівняння інтегрується в елементарних функціях.
1)?=0; тоді змінні розділяються:
2)? =- 2; рівняння має вигляд:
Зробимо в (1.5) заміну залежного змінного:
Перетворення рівняння буде:
Вийшло однорідне рівняння; воно інтегрується в квадратурах.
Примітка. До виду (1.5) наводиться більш загальне рівняння:
розібраної вище підстановкою, нищівній член с в першого ступеня.
Крім існує ще безліч інших значень, при яких рівняння Риккати (1.4) інтегрується в елементарних функціях. Для знаходження цих значень, перетворюючи в рівнянні (1.4) залежне змінне лінійної підстановкою:
підберемо функції так, щоб перетворене рівняння не містило члена з першим ступенем шуканої функції і щоб вільний член не змінювався. Маємо:
Поставлені умови дають два рівняння для визначення
Після цього з першого рівняння отримуємо:
(приватне рішення).
Бажаєма підстановка має вигляд:, і перетворене рівняння напишется так:
Далі, робимо підстановку (дрібно-лінійну):
при цьому пов'язаний із співвідношенням:
нове рівняння буде:
Деля обидві частини на перетворимо, нарешті, незалежне змінне так, щоб член сімел постійний коефіцієнт:
Очевидно, що для приведення рівняння до виду (1.4) досить покласти:
(1.7)
і ми отримуємо остаточно:
(1.8)
Це є рівняння виду (1.4), де нові коефіцієнти мають значення і показник? замінився через
Останню дрібно-лінійну підстановку, що зв'язує? і, наводимо до наступного «канонічного виду»:
Застосовуючи до рівняння (1.8) з новими ті ж перетворення (1.6), (1.7), прийдемо знову до рівняння того ж типу, в якому показник при пов'язаний з і з? співвідношеннями:
В результаті подібних перетворень прийдемо до показника пов'язаному з вихідним показником? співвідношенням:
Якщо, відправляючись від показника?, ми проведемо в зворотному порядку вищевказані послідовні перетворення змінних, ми прийдемо до рівнянь з показниками пов'язаними з? співвідношеннями:
Якщо, в результаті перетворень ми прийдемо до показника, для якого рівняння Риккати інтегрується в квадратурах, то і початкова рівняння має ту ж властивість. Як легко бачити з первісної формули, що зв'язує, при ми маємо, т.е. показник - 2 не змінюється при розглянутих перетвореннях і, отже, не може відбутися в результаті цих перетворень від іншого показника. Тому нас будуть цікавити лише ті випадки, коли для деякого натурального ми маємо:
Припускаючи тепер будь-яким цілим числом (позитивним чи негативним), ми в обох випадках маємо:
Ми отримали дві нескінченні послідовності показників, для яких рівняння Риккати зводиться шляхом ряду перетворень до нагоди?=0; це будуть:
Обидві послідовності мають межею. Дозволяючи знайдену для? формулу відносно, отримуємо: одно цілому числу; це ознака того, що? належить до однієї із зазначених послідовностей.
При, як легко переконатися, виражається через показові та тригонометричні функції від; послідовні ...
