відомлення рівноймовірні і незалежні, то вираз для р (s/y) можна привести до вигляду
(4)
де - одностороння спектральна щільність потужності білого гауссовского шуму;
А - деяка константа.
Знаходження сигналу, максимизирующего величину (4) при спостереженні на вході приймача деякої реалізації y (t), еквівалентно мінімізації показника експоненти. Отже, оптимальний приймач повинен виносити рішення про прийом того сигналу, при якому функція р (/ y) досягає максимуму, а величина
(5)
відповідно стає мінімальною.
Враховуючи властивості векторного представлення функцій часу, від виразу (5), можна перейти до еквівалентного йому вираженні.
(6)
Вираз (5) або (6) являє собою алгоритм роботи оптимального приймача дискретних повідомлень. Працюючи за цим алгоритмом, оптимальний приймач повинен обчислити значення величини для всіх М, що використовуються в системі сигналів (де j-1, 2, ..., М), порівняти їх між собою, вибрати найменше значення і відтворити на виході відповідне йому дискретне повідомлення.
Іншими словами, оптимальний приймач завжди відтворює на виході повідомлення, переносиме тим сигналом, до якого найбільш близька вхідна реалізація y (t). У геометричній інтерпретації це означає, що оптимальний приймач завжди відносить вектор вхідний реалізації y до найближчого вектору сигналу.
Очевидно, що прийом сигналів у присутності шуму може призводити до помилок, оскільки вектор вхідний реалізації випадковий і з деякою вірогідністю може потрапити в будь-яку точку простору. Припустимо, що вектор y, утворений з переданого сигналу і шуму n, потрапив в точку, найбільш близько розташовану до вектора сигналу.
Якщо i = j, то приймач прийме правильне рішення, якщо ж, то рішення приймача виявиться помилковим і замість переданого повідомлення він помилково відтворить повідомлення.
Незважаючи на те, що оптимальний приймач дискретних повідомлень може допускати помилкові рішення, їх ймовірність у цього приймача мінімальна в порівнянні з будь-якими реальними приймачами таких повідомлень.
Дослідження показують, що алгоритм може бути представлений в більш зручному для схемної реалізації вигляді і дозволяє отримати структурні схеми оптимальних приймачів і вирази для розрахунку завадостійкості.
2 Оптимальний когерентний прийом дискретних сигналів і його завадостійкість
У задачі розпізнавання сигналів, що не містять випадкових параметрів (тобто точно відомих), В«причинамиВ» є вступники на вхід сигнали, ймовірності яких рівні, очевидно, ймовірності появи відповідних елементів. В«НаслідкамиВ» є реалізації суми сигналу і перешкоди.
Кількісно опис ситуації зручно проводити за допомогою розгляду векторів відповідних коливань. Замість сигналів будемо оперувати однозначно відповідними їм векторами, а замість реалізацій y (t) - векторами, координати яких визначаються виразом, який в нашому випадку запишемо так:
(1)
У Відповідно до теореми Байєса
(2)
Як було зазначено, рішення зазвичай виноситься на користь сигналу, має найбільшу апостеріорну ймовірність. Так як знаменник не залежить від номера I, то вирішальне правило (алгоритм рішення) визначається так:
(3)
Слід звернути увагу на те, що в цих висловлюваннях - щільності ймовірностей, так як компоненти вектора y, як видно з (1), є безперервними випадковими величинами.
У виразі (3) апріорні ймовірності передачі елементів повинні бути задані. Отже, необхідно визначити тільки правдоподібності. Це можна зробити виходячи з того, що перешкода аддитивна. Так як
,
то щільність ймовірності деякого значення вектора дорівнює щільності ймовірності, що вектор перешкоди n прийме значення. Звідси випливає, що якщо-відома нам щільність ймовірності вектора перешкоди, то
(4)
Останній перехід справедливий тому, що сигнал і перешкоди - незалежні процеси.
Для подальшої конкретизації алгоритму необхідно задати певний вид перешкоди. У більшості випадків мають місце нормальні (гаусові) або близькі до них перешкоди. Обчислення в цьому випадку виявляються найбільш простими. При гауссовских перешкодах кожна компонента вектора розподілена по нормальному закону
(5)
У ряді випадків, зокрема, при рівномірному розподілі енергії перешкоди по смузі розглянутих частот, компоненти вектора є незалежними випадковими величинами. Тоді, як відомо,
(6)
При залежних компонентах вираз для істотно ускладнюється і цей випадок тут розглядати не будемо.
Зазначимо, що, тобто є квадратом довжини (норми) вектора перешкоди.
Отже,
(7)
Відкинувши множники, які не залежать від номера сигналу i, вирішальне правило (3) можна представити у вигляді
(8)
