ажається сумою (1.2), и ЕНЕРГІЇ основного (незбудженого) стану - ЕНЕРГІЇ Нульовий Коливань
В
:
В
Зх Електрон провідності взаємодіють Тільки ці збудження, а нульові коливання утворюють Постійний незмінній фон (вакуум) кристала. Прото, колі амплітуді Нульовий Коливань атомів стають порівняннімі Із Сталлю решітки, то Такі квантові кристали набуваються Деяк Дуже цікавіх властівостей; Такі Властивості при ПЄВНЄВ умів мают кристали твердого гелію.
вирази (1.3) можна розглядаті, як суму енергій Д§П‰ j () ПЄВНЄВ квазічастінок, кількість якіх дорівнює n. Енергія Д§П‰ j () назівається квантом ЕНЕРГІЇ коливання решітки або фонони. Отже, фонон - це одінічне квантова збудження нормального коливання. За аналогією з фотоном (квантом електромагнітного поля) фонон можна розглядаті як вільну квазічастінку. У цьом разі О” n = +1 означає народження фонона, а n = -1 - его знищення.
Таким чином, поки теплова енергія кристала й достатньо мала и коливання атомів гармонічні, ее можна податі у вігляді суми енергій квазічастінок - фононів , что НЕ взаємодіють. У гармонічному набліженні фонони за багатьма своими властівостямі поводять себе, як ідеальний газ.
фонони є Акустичні и оптичні , а ЯКЩО врахуваті полярізацію, - поздовжні ( L ) i поперечні ( Т ), тоб фонони бувають LA , LO , ТА и ТО . Оскількі фонон характерізується Хвильового вектором, то для нього властівій и відповідній закон дісперсії Коливань П‰ (), причому в трівімірному випадка (як и в одновімірному) закон дісперсії є періодічною функцією з періодом решітки. Це означає, что існує Певний зв'язок между типом кристала, его сіметрією и характером Коливань атомів (або сіметрією фононів). У вівченні фононного спектру найбільш ВАЖЛИВО є вид дісперсії фононів в особливая точках-простору, тоб у вісокосіметрічніх точках, Наприклад в точках | q | = 0, | | = ТОЩО.
Згідно з квантової статистики Бозе - Ейнштейна, середнє число фононів, Які мают Енергію Е ф = Д§П‰ , задається функцією
В
(1.4)
Формула (1.4) враховує, что хімічний Потенціал рівноважного фононного газу дорівнює нулю, оскількі загальна кількість фононів у крісталі НЕ зберігається.
Відповідно середню Енергію фононів, Які перебувають у стані з відомімі П‰ І, запісують як
ВҐ
В© А
В
(1.5)
1.2 Набліження Ейнштейна и Дебая
В основу Першої квантової Теорії твердих тіл покладено модель Ейнштейна (1907 p.). Згідно з нею атом кристала являє собою трівімірній гармонічній осцилятор, что Виконує коливання з частотою П‰ Е Поблизу положення рівновагі Незалежності від других атомів. Згідно з цією моделлю, тверде Тіло слід розглядаті як сукупність 3 N квантова осціляторів, что мают однаково частоту. Середня енергія шкірного осцилятора візначається за формулою (1.5).
З рис. 1.1 видно, что частоти оптичних Коливань крісталічної решітки мало залежався від Хвильового вектора. Це означає, что до них можна застосуваті модель Ейнштейна. За частоту Коливань П‰ Е осціляторів беруться П‰ 3 , яка дорівнює граничному значенні частоти оптічної віткі Коливань (рис. 1.1). У МОДЕЛІ твердого тіла Ейнштейна Енергію кристала, Який містіть N атомів, запісують так:
В
(1.6)
У віразі (1.6) уведено температуру Ейнштейна
В
(1.7)
В
что відповідає збудженню фононів частоти П‰ f , кількість якіх експоненціально зменшується Із зниженя температури.
Рис. 1.1
У МОДЕЛІ твердого тіла Ейнштейна вважається, что КОЖЕН атом колівається Незалежності від других. Щоб врахуваті зв'язок между сусіднімі атомами, П. Дебай (1912 р.) Розглянув тверде Тіло як суцільне пружньо середовище. У такій МОДЕЛІ внутрішня енергія твердого тіла пов'язується НЕ з коливання окрем атомів, а з стоячими пружньо хвилями (модами). Квант колівальної ЕНЕРГІЇ твердого тіла (Фонон) переміщується з швідкістю звуку, оскількі власне звукові Хвилі пружні. З рис. 1.1 видно, что для всіх значень Хвильового числа q П‰ ак <О© оп , Де П‰ ак - частоти акустичних Коливань, что відповідають Нижній вітці (раніше позначали П‰_), а П‰ оп - частоти оптичних Коливань раніше позначали (П‰ + ). ЕНЕРГЕТИЧНА це означає, что при й достатньо низьких температурах у крісталі збуджені одні Тільки Акустичні коливання. Через ровері число атомів спектр ціх Коливань можна вважаті практично неперервно и таким, что змінюється від П‰ = 0 до П‰ ...
