езультатів сучасного аналізу, але і дає нам незамінний інструмент в дослідженні найважчих питань сучасної фізики ".
Інтеграл Фур'є в комплексній формі. Формулювання теореми про збіжність інтеграла Фур'є для кусково-гладких і абсолютно інтегровних на числової прямої функції
Інтеграл Фур'є в комплексній формі. Формулювання теореми про збіжність інтеграла Фур'є для кусково-гладких і абсолютно інтегровних на числової прямої функції
(1)
інтегральна формула Фур'є.
Спочатку введемо поняття головного значення інтеграла. Нехай функція интегрируема на будь-якому відрізку числової прямої.
Визначення 1.1. Якщо існує кінцевий межа
, , (1.1)
то ця межа називається головним значенням інтеграла і позначається: vp (Головне значення - по французки valeur principale)
(1.2)
Зауваження 1.1. Визначення 3.1 є окремий випадок визначення невласного інтеграла
, (1.3)
якщо .
Якщо існує невласний інтеграл (1.3), те й існує для цієї функції і головне значення інтеграла (1.2) і воно співпадає з невласним інтегралом. Протилежне твердження в загальному випадку невірно, наприклад:
,
але невласний інтеграл розходиться (обгрунтувати).
Перетворимо інтегральну формулу Фур'є (1)
В
, (1.4)
(1.5)
. (1.6)
Зауваження 1.2. Надалі формули будемо записувати, розуміючи невласні інтеграли в сенсі головного значення інтеграла, що не позначаючи це символами vp в окремих випадках.
Якщо функція - парна, то інтегральна формула Фур'є буде мати вигляд правої частини (1.4), де ; якщо ж функція - непарна, то в правій частині (1.4) буде .
Далі зауважимо, що
. (1.7)
Склавши (1.7) з інтегральною формулою Фур'є (1), отримаємо інтегральну формулу Фур'є в комплексній формі
. (1.8)
