ify"> t, r, ? ,) на поверхні чорної діри не повинні гаснути, оскільки постійно діють квантові флуктуації вакууму на сфері Шварцшильда (2.3). Під дією ці флуктуацій коливання гравітаційного радіуса будуть з'являтися в будь-якій точці на сфері А=4.
3. Хвильове рівняння сфери Шварцшильда
Розглянемо задачу про знаходження хвильового рівняння коливань сфери Шварцшильда. Метрику g ik ( t, r, ? ,) на горизонті подій будемо розглядати на кордоні:
? ={0; }, , r=r g = , (3.1)
Горизонт подій у вакуумних рішеннях рівнянь ЗТВ:
R ik =0, ds 2 =g ik dx i dx k =0 (3.2)
Флуктуації метрики g ik на сфері горизонту подій будемо розглядати як малі обурення:
g ik =g ik (0) + h ik , < i align="justify"> (3.3)
де g ik (0) - статична метрика простору-часу на горизонті подій.
Тоді умови (3.2) і (3.3) дають розглядати гравітаційні хвилі на сфері Шварцшильда:
Де
Оператор Лапласа в сферичних координатах Шварцшильда,
=
На горизонті подій r=r g = радіальна частина оператора Лапласа=0.
Рівняння коливання горизонту подій або сфери Шварцшильда буде:
(3.4)
Рішенням цього рівняння (3.4) будуть власні значення кутового оператора Лапласа для коливань сфери.
Причому утворюються стоячі коливання на горизонті подій чорної діри.
Тому метрику коливань визначимо як незалежну від часу:
(? ,) ·
Де - власна частота коливань сфери Шварцшильда з точки зору віддаленого зовнішнього спостерігача.
У цьому випадку рівняння коливання сфери Шварцшильда має вигляд з урахуванням граничних умов (3.1):
(3.5)
Вирішенню цього рівняння (3.5) відповідають власні значення коливань сфери у вигляді виразу:
При n=0,1,2, ... N.
4. Квантові енергії сфери Шварцшильда
Вирішенню рівняння (3.5) відповідають власні значення:
(4.1)
Звідси власні частоти коли...
