А:
(A T) T=A
. Транспонована сума матриць дорівнює сумі транспонованих матриць:
(A + B) T=A T + B T
. Транспоновану добуток матриць дорівнює добутку транспонованих матриць, взятих у зворотному порядку:
(AB) T=B T A T
4. При транспонировании можна виносити скаляр:
(? A) T =? A T
5. Визначник транспонованою матриці дорівнює визначнику вихідної матриці:
A T=det A T
Визначник.
Визначник (або детермінант) - одне з основних понять лінійної алгебри. Визначник матриці є многочленом від елементів квадратної матриці (тобто такий, у якій кількість рядків і стовпців одно).
Для матриці першого порядку детерминантом є сам єдиний елемент цієї матриці:
Для матриці 2x2 детермінант визначається як
Для матриці nxn визначник задається рекурсивно:
де - додатковий мінор до елемента.
Ця формула називається розкладанням по рядку.
Мінор матриці A? визначник такої квадратної матриці B порядку k (який називається також порядком цієї мінору), елементи якої стоять в матриці A на перетині рядків з номерами і стовпців з номерами.
Зокрема, формула обчислення визначника матриці 3x3 така:
Зворотній матриця.
Обра? тна ма? тріца - така матриця A? 1, при множенні на яку, вихідна матриця A дає в результаті одиничну матрицю E:
- 1=AA - 1=E (9)
Квадратна матриця оборотна тоді і тільки тоді, коли вона невироджена, тобто її визначник не дорівнює нулю. Для неквадратних матриць і вироджених матриць зворотних матриць не існує.
- транспонована матриця алгебраїчних доповнень;
Алгебраїчним доповненням елемента a ij матриці A називається число
,
де - додатковий мінор, визначник матриці, одержуваної з вихідної матриці A шляхом викреслювання i -го рядка і j-го стовпця.
Отримана матриця A? 1 і буде зворотною. Складність алгоритму залежить від складності алгоритму розрахунку визначника O det і дорівнює O (n?) · O det. Інакше кажучи, зворотна матриця дорівнює одиниці, поділеній на визначник вихідної матриці і помноженої на транспоновану матрицю алгебраїчних доповнень елементів вихідної матриці.
Аналіз
Матриця являє собою систему взаємопов'язаних елементів. Для цих елементів характерні подібності та відмінності, які необхідно виявити на етапі розробки компоненти. Крім того, важливо визначити взаємодію елементів системи як частини цілого.
Виходячи з розгляду складових частин матриці, можна виділити наступні найбільш загальні для будь-якої матриці типи елементів:
. Осередок
. Осередки з даними
. Сітка
Уявити матрицю можна різними способами, доцільним буде зробити її у вигляді таблиці зі значеннями в кожному осередку. Осередок має свою ширину і висоту, як і сітка, що складається з осередків. Крім того, таблицю потрібно заповнити даними, для цього необхідно створити окремий елемент, який представлятиме комірки з даними. Також потрібно брати до уваги, що кожна сітка і таблиця з даними має фіксовану кількість рядків і стовпців. Всі перераховані елементи є основними для будь-яких матриць.
До додаткових елементів належатимуть:
. Написи з нумерацією рядків і стовпців (текст комірки)
. Напис перед матрицею (текст матриці)
Щоб організувати нумерацію по стовпцях і рядках (починаючи з нуля), необхідно навпроти кожного елемента нульового стовпця і нульовий рядки відобразити числове значення, відповідне стовпцю або рядку в якій знаходиться елемент. Основою для нумерації буде комірка. Текст, розташований зліва вертикально щодо положення осередку буде позначати номер рядка, а текст розташований зверху над осередком буде номером стовпця.
Напис перед матрицею використовується для позначення введених матриць (наприклад - А, B), а також для результату виконаної операції. Основою для даного елемента будуть осередки зі значеннями.
Виходячи з системного аналізу матриці можна скласти таку структурну схему системи:
