ся на поліном Лагерра:
Таким чином, в цьому випадку для парного індексу кратні рішення рівняння теплопровідності мають вигляд:
3). Сферичний випадок відрізняється від плоского наявністю множника в правих частинах формул (1.1.30) і (1.1.31).
Їх, функції (*) є узагальненням інтегральної функції помилок Хартрі на випадок довільного. Співвідношення, аналогічні (1.1.1) - (1.1.11), випливають з наступних властивостей гіпергеометричною функції:
,
1.2 Рішення задач при крайових умовах першого РДА в обмеженою і напівнескінченної областях
Постановка завдання. Знайти рішення диференціальних рівнянь
(1.2.1)
, (1.2.2)
при крайових і початкових умовах
, (1.2.3)
, (1.2.4)
, (1.2.5)
де - закон руху рухомої кордону, що задовольняє умові.
У такій загальній постановці завдання (1.2.1) - (1.2.5) не має замкнутих рішень. Але якщо припустити, що функції
(1.2.6)
і закон руху має вигляд
, (1.2.7)
де - позитивне ціле число або нуль; й - постійні числа,, то задача (2.1) - (2.5) має замкнуті рішення. Дійсно, такі рішення побудувати легко, якщо зауважити, що вирази
, (1.2.8)
де, як зазвичай
є незалежними приватними рішеннями рівнянь (1.2.1) і (1.2.2).
. (1.2.9)
Загальне рішення задачі (1.2.1) - (1.2.5) при зроблених припущеннях щодо функцій і будемо шукати у формі
, (1.2.10)
(1.2.11)
При прагне до нулю, матимемо
,
; (1.2.12)
При прагне до
,
, (1.2.13)
Тоді з рівнянь (1.2.12) - (1.2.13) отримуємо систему рівнянь
(1.2.14)
Вирішуємо систему рівнянь відносно. Знаходимо основний визначник:
,
і визначники:
,
,
.
За формулою Крамера визначаємо постійні.
, (1.2.15)
, (1.2.16)
, (1.2.17)
. (1.2.18)
Підставляючи значення з рівнянь (1.2.15) - (1.2.17) в загальні рішення (1.2.9) - (1.2.10), отримаємо остаточне рішення задачі (1.2.1), (1.2.5) в замкнутому вигляді.
Цей прийом рішення легко узагальнити для функцій, заданих у вигляді поліномів в будь-якого ступеня від або.
В окремому випадку при і після елементарних перетворень одержимо
,
.
.3 Рішення задач при другому крайовому умови на рухомій кордоні в обмеженій області
Постановка завдання. Знайти рішення
(1.3.1)
(1.3.2)
. (1.3.3)
Припустимо, що функції і мають, відповідно, вигляд і. У цьому випадку загальний розв'язок рівняння (1.3.1) шукаємо у вигляді
. (1.3.4)
З крайового умови (1.3.2) і спільного рішення (1.3.4)
,
,
одержимо рівняння
(1.3.5)
Диференціюючи (1.3.4) по і підставляючи результат при в умову (1.3.4)
,
. (1.3.6)
Вирішуємо рівняння (1.3.5) і (1.3.6) щодо
,
,
.
За формулою Крамера отримаємо
, (1.3.7)
, (1.3.8)
. (1.3.9)
Підставляючи значення з рівнянь (1.3.8) і (1.3.9) в рівняння (1.3.4), отримаємо остаточне рішення задачі (1.3.1) - (1.3.3).
Для рухомій теплоізоляційної кордону треба в рівняннях (1.3.7) і (1.3.8) покласти. Викладеним прийомом можна знайти рішення теплових завдань при крайових умовах (1.3.2) і (1.3.3), заданих у вигляді полінома будь-якого ступеня від або.
. 4 Аналітичне рішення третьої крайової задачі рівняння теплопровідності методом функції помилок
Рішення теплової задачі
(1.4.1)
може бути представлено в наступному вигляді
, (1.4.2)
. (1.4.3)
Використовуючи принцип суперпозиції рішення (1.4.1) може бути записано у вигляді (1.4.2)
(1.4.4)
де коефіцієнти необхідно знайти.
Остаточне рішення теплового рівняння (1.4.1) може бути представлено в наступному вигляді
(1.4.5)
Постановка завдання.
Потрібно знайти рішення рівняння теплопровідності
(1.4.6)
при початкових умовах
(1.4.7)
при граничних умовах
(1.4.8)
(1.4.9)
(1.4.10)
де - аналітичні функції, які можуть бути представлені у вигляді
