ру, вільний член? 0 у регресійній моделі можна оцінити на підставі вже отриманих оцінок параметрів? 1, ...,? m. Для цього за вибіркою залишків моделі, ..., знаходиться вибіркова медіана. Тоді оцінка вільного члена дорівнює елементу в середині впорядкованої вибірки (якщо число елементів n непарне), або середньому арифметичному двох елементів, що знаходяться в середині впорядкованої вибірки (при парному числі n).
Отже, в цій главі був описаний ранговий метод оцінювання параметрів регресійної моделі та розглянуто особливості його реалізації в даній роботі. У додатку № 1 представлений алгоритм для середовища Matlab, який будує рангову оцінку параметрів регресійної моделі, використовуючи вбудовану в Matlab функцію методу симплексного пошуку.
2. Чисельний порівняльний аналіз
Отже, в рамках даної роботи розглядаються такі розподілу випадкових величин, як розподілу Гауса і Лапласа, трикутний розподіл (розподіл Сімпсона) і двогорбі розподілу, що моделюються на основі гауссовских і трикутних розподілів. Крім цього розглядаються розподіл Коші, розподіл Стьюдента з невеликим числом ступенів свободи, розподіл Тьюки і логістичне розподіл. Останні розподілу відносяться до розподілів з важкими хвостами .
Розподіл Гаусса з дисперсією? 2 gt; 0 і математичним очікуванням m має функцію щільності. У проведених експериментах гауссовская випадкова величина з математичним очікуванням m=0 і дисперсією? 2=1 моделюється за допомогою вбудованої в Matlab процедури. На малюнку 2.1 зображена функція щільності цієї величини.
Рис. 2.1. Графік щільності розподілу Гаусса
Розподіл Лапласа зі зрушенням? і коефіцієнтом масштабу? gt; 0 має щільність. В експериментах розглядається величина з?=0 і?=1. Величина з таким розподілом моделюється як різниця двох величин з експоненціальним розподілом. Кожна з цих величин, у свою чергу, обчислюється як логарифм рівномірно розподіленим на відрізку від 0 до 1 випадкової величини, поділений на -? :. Графік функції щільності розподілу Лапласа представлений на малюнку 2.2.
Рис. 2.2. Графік щільності розподілу Лапласа
Розподіл Коші з коефіцієнтом масштабу? gt; 0 і зрушенням x 0 має щільність. Розподіл Стьюдента з n ступенями свободи має щільність, де Г - гамма-функція Ейлера,. Випадкові величини з розподілами Коші і Стьюдента виходять за допомогою функцій, зворотних їх функціям розподілу, в які в якості аргументу була підставлена ??величина з рівномірним на відрізку від 0 до 1 розподілом. Розглядалося розподіл Стьюдента з 2, 3, 5 і 13 ступенями свободи, розподіл Коші має параметри? =1 і x 0=0. На малюнку 2.3 синіми крапками відзначена щільність розподілу Коші, синьою лінією - щільність розподілу Стьюдента з 2 ступенями свободи, червоною - з 3 ступенями, зеленої - з 5 ступенями та чорної - з 13 ступенями.
Рис. 2.3. Графіки густин розподілів Стьюдента з 2, 3, 5 і 13 ступенями свободи і Коші
Щільність розподілу Тьюки дорівнює
,
де 0 lt; ? lt; 1 -доля зашумлення вибірки,? 1 лютому gt; ? 2 лютого. Величина з розподілом Тьюки в експериментах моделюється як суміш двох гауссовских випадкових величин: з імовірністю (1?) Величина має нормальний розподіл з дисперсією? 2 2 і нульовим математичним очікуванням, а з імовірністю? вона має дисперсію? 1 лютому. Для реалізації такої комбінації додатково використовується рівномірно розподілена на відрізку від 0 до 1 випадкова величина. Якщо значення цієї величини виявляється менше (1?), То генерується величина з меншою дисперсією, інакше ж генерується величина з більшою дисперсією. На малюнку 2.4 зображена щільність розподілу Тьюки.
Рис. 2.4. Графік щільності розподілу Тьюки
Щільність двогорбої розподілу на основі двох гауссовских величин описується формулою
,
де m - одна з двох симетричних мод розподілу. В експериментах випадкова величина з таким розподілом моделюється наступним чином: з імовірністю 0,5 величина має гауссовское розподіл з математичним очікуванням m=2 і дисперсією? 2=1, і з імовірністю 0,5 величина має математичне очікування -m=- 2 і дисперсію? 2=1. Для реалізації комбінації, аналогічно розподілу Тьюки, використовується допоміжна випадкова величина з рівномірним розподілом. На малюнку 2.5 зображено графік щільності такого розподілу.
Рис. 2.5. Графік щільності двогорбої розподілу на основі комбінації двох гауссовских
Щільність трикутного розподілу на відрізку від а до b дорівнює
