зусилля Направляє на создания ефективного алгоритму, Який візначає розмір Крока.
Відносно методів інтегрування, Спираючись на розклад невідомої Функції в ряд Тейлора, Наприклад методом Рунге-Кутта різніх порядків, можна Зазначити, что смороду знаходять обмеженності Використання. Пов'язано це з двома обставинами: по-перше, ускладнюється оцінка локальної методичної похібкі на шкірному кроці інтегрування; по-друге, для визначення треба m разів обчісліті Значення Першої Частини діференційніх рівнянь (m - порядок методу), причому ці Значення Неможливо використовуват на других кроках. Друга властівість зніжує ефективність розрахунків порівняно з кінцево-різніцевімі формулами. Методом Рунге-Кутта ЗРУЧНИЙ почінаті чисельного інтегрування, ЯКЩО воно ведеться за багатокроковімі різніцевімі формулами, для Отримання необхідніх початкових значень. Праворуч у того, что методи Рунге-Кутта віявляються явнімі та однокроковімі. Тому Використання їх на початковій стадії обчислення НЕ Дуже позначені на Загальне годин ВТРАТИ, а Необхідна точність забезпечується правильністю Вибори порядку.
3. Спектральні методи
1 Математичний Зміст спектральних методів. Розглянемо розрахунок періодічного режиму в нелінійному Пристрої на прікладі конкретної схеми (рис. 1), складеної з паралельно з'єднаних провідностей y (p), нелінійного опору з вольт-амперні характеристики та нелінійної Ємності, в якій відома вольт-кулонівська характеристика. Аргументом лінійної провідності є оператор діференціювання.
В
Рисунок 1 - Схема, за помощью Якої ведеться розрахунок періодічного режиму
На вході схеми Діє періодічне джерело Струму Із періодом
. (2)
При завданні y (p),,, нужно найти періодічну з періодом напругу, яка буде рішенням діференційного рівняння, записаного в сімволічній ФОРМІ
.
подам Шуканов напругу в ФОРМІ ряду Фур'є:
. (3)
Завдання зводіться до визначення спектральних компонентів в (3).
Очевидно, при періодічному режімі струм нелінійного опору та заряд нелінійної Ємності будут такоже періодічнімі функціямі годині
, (4)
. (5)
ВАЖЛИВО мати на увазі, что Кожна Амплітуда Струму та заряду в (4) і (5) буде, в силу (3), функцією всех комплексних амплітуд шуканої напруги.
Щоб отріматі рівняння для, підставімо (3), (4) та (5) у діференційне рівняння
.
Тут УСІ комплексні амплітуді постійні. Значити, оператор діференціювання Діє Тільки на експоненційні Функції
;.
Отже, можна записатися
,
де = {1 при k = 0, В± 1; 0 при k0, В± 1}.
отриманий співвідношення являє собою лінійну комбінацію функцій. Оскількі смороду лінійно незалежні, то склад лінійна комбінація может обернуться в нуль Тільки при рівності нулю шкірного співмножніка в квадратних дужках:
, (6)
В
Вище зазначалось, что Кожна Амплітуда Струму та заряду є функцією комплексних амплітуд напруги
, (7)
В
Тому (6) являє собою нескінчену систему Трансцендентність (нелінійніх) рівнянь відносно комплексних амплітуд напруг.
При практичних розрахунках й достатньо врахуваті постійну ськладової и кілька гармонік напруги. Так можна сделать того, что розглянуті схеми вібірні. Звичайний, кількість гармонік, Які беруться до уваги, винен візначіті розробник. Зазначімо, что в інженерній методіці розрахунку подібніх схем, Враховується позбав одна гармоніка.
Припустимо, ВСТАНОВЛЕНО, что й достатньо полічіті N гармонік. Тоб, система (6) Складається з (2 N + 1) рівнянь. Таким чином, розрахунок періодічного режиму спектральним методом зводіться до решение системи нелінійніх рівнянь. Різновіді методом візначаються способом решение цієї системи. p> Потрібно взяти до уваги особлівість рівнянь (6): у них нелінійні Функції (7) у Деяк випадка можна описати аналітично. У зв'язку з ЦІМ, далі НЕ розглядатімемо Способи решение (6), Які спіраються на аналітичне уявлення Функції (7). Тому нижчих Зупинимо на двох способах: перший - ітераційній метод Ньютона; другий - Різновид пропонованого у методу, что спірається на інтегрування діференційніх рівнянь.
2 Алгоритм решение системи нелінійніх рівнянь методом Ньютона.
Запішемо рівняння (17) у векторно-матрічній ФОРМІ
, (8)
де - вектор комплексних амплітуд Струму комплексних амплітуд напруги;
- вектор нелінійного опору;
- вектор комплексних амплітуд заряду нелінійної Ємності;
- вектор складової джерела Струму;
та - квадратні діагональні матріці. Розмірність векторів та матрицю дорівнює 2N +1.
Ліва частина формули (7), віявляється Трансцендентність векторна функцією, аргумент Якої - вектор напруги
. (9)
За помощью формули (7) отріма...
