ня (1.4) назівається характеристичностью рівнянням матріці А; воно служити для знаходження ВЛАСНА значень, Які назіваються такоже характеристичностью коріннямі матріці А (або власними значеннями матріці А). Знайшовши з (1.4) яке-небудь власне значення, а Ми можемо найти відповідній власний вектор Із системи рівнянь (1.3). Числовий вектор, что виходе
,
задовольняючій рівнянню, назівається такоже власним вектором матріці А.
.1.4 Квадратічні форми
квадратичною формою від декількох змінніх назівається однорідній багаточлен інший щабель від ціх змінніх. p> Наприклад, квадратична форма від змінніх у загально випадка має вигляд
, (1.6)
де - деякі чіслові КОЕФІЦІЄНТИ (а двійкі поставлені для Спрощення формул, что Прокуратура:).
матрицю Такої форми назівається симетрично матриця.
.
Будемо розглядаті як декартові координати в Деяк базісі. Если перейти до нового декартового базису, то й У ФОРМІ (1.6) треба сделать заміну змінніх, при чому матриця Т переходу буде ортогональні. У результаті форма буде віражах через Нові координат та, можна довести, что при цьом нова матриця віражається через стару по Формулі
A Вў = T -1 AT (1.7)
Відомо, что базис можна вібрато так (взявши як ці Вектори Власні Вектори оператора, что відповідає матріці А, тоб Власні Вектори матріці), что матриця А 'Вийди діагональної
.
Альо тоді квадратична форма в новіх змінніх здобуває вигляд:
(1.8)
де - характеристичностью корінь матріці А.
Можна Сказати, что квадратична форма (1.6) можна за помощью ортогонального Перетворення призвести до діагонального вигляду (1.8).
.2 Основні методи решение
.2.1 Спрощення рівнянь іншого порядку на площіні
Перетворення квадратічної форми застосовується, зокрема, до Спрощення рівнянь ліній и поверхонь іншого порядку. Розглянемо рівняння поверхонь. p> Нехай на площіні задана прямокутна декартова система координат. Если х і у - координати довільної крапки на площіні в даній Системі координат, то, як відомо,
(I) рівняння візначає Еліпс;
(II) рівняння - Крапка;
(III) рівняння - порожня множини крапок (мнімій Еліпс);
(IV) рівняння - гіперболу;
(V) рівняння - парі пересічних прямих;
(VI) рівняння (), - параболу;
(VII) рівняння () - парі паралельні прямі;
(VIII) рівняння () - парі прямих, что злило;
(IX) рівняння (), - порожня множини крапок.
Рівняння (Г) - (IX) назіваються канонічнімі рівняннямі фігур іншого порядку на площіні.
Рівняння (I) - (III) візначають фігуру еліптічного типом, рівняння (IV), (V) - гіперболічного типу, рівнянн...
