я b=3. Таким чином, найбільш економічною є троичная система числення (використовувана в трійчастий ЕОМ), слідом за якою йдуть двійкова система числення (традиційно використовувана в більшості поширених ЕОМ) і четверичной система числення.
Економічність системи числення - важлива обставина з точки зору її використання в обчислювальній машині. Тому, хоча застосування в обчислювальній машині троичной системи замість двійковій тягне деякі конструктивні труднощі (при цьому потрібно користуватися елементами, кожен з яких може перебувати не в двох, а в трьох стійких станах), ця система вже була використана в деяких реально існуючих обчислювальних пристроях. С.В. Фомін, радянський математик
Еквівалентна опис економічності системи числення можна отримати, використовуючи поняття інформаційної ентропії. За умови равновероятности появи кожної з цифр у записі числа інформаційна ентропія записи n-розрядного числа в системі числення з основою b приймає значення (з точністю до постійного коефіцієнта). Тому щільність запису (тобто, кількість інформації на один розряд) чисел в системі числення з основою b дорівнює, яка також приймає максимальне значення при b=e, а для цілих значень b - при b=3.
Властивості
Позиційна система числення має ряд властивостей:
· Основа системи числення в ній самій завжди записується як 10; наприклад, в двійковій системі числення 10 означає число 2. Дане твердження не застосовується до унарною системі числення, в якій використовується тільки одна цифра.
· Для запису числа x в b-річної системі числення потрібно цифр, де означає взяття цілої частини числа.
· Природний порядок на натуральних числах відповідає лексикографічного порядку на їхніх уявленнях в позиційній системі числення. Тому порівнювати їх подання можна поразрядно, починаючи зі старшого розряду, до тих пір, поки цифра в одному числі не буде більше відповідної цифри в іншому. Наприклад, для порівняння чисел 321 і 312 у десятковій системі числення потрібно порівнювати цифри в однакових розрядах зліва направо:
o 3=3 - результат порівняння чисел поки не визначений;
o 2> 1 - перше число більше (незалежно від залишилися цифр).
· Арифметичні операції над числами. Позиційна система числення дозволяє без праці виконувати додавання, віднімання, множення, ділення й ділення із залишком чисел, знаючи тільки таблицю додавання однозначних чисел, а для трьох останніх операцій ще й таблицю множення у відповідній системі. (Див., наприклад, розподіл стовпчиком).
Перехід до іншого підставі
Переклад в десяткову систему числення.
Якщо число в b-річної системі числення одно:
то для переведення в десяткову систему обчислюємо таку суму:
або, в більш наочному вигляді:
або, нарешті, у вигляді схеми Горнера:
Наприклад:
2=1 · 2 5 + 0 • 2 4 + 1 · 2? + 1 · 2? + 0 · 2 1 + 0 · 1=1 · 32 + 0 · 16 + 1
+ 1 · 4 + 0 · 2 + 0 · 1=32 + 8 + 4 + 0=44 10
Переклад з десяткової системи числення
