оняття межі слід зазначити поняття межі, дані в роботах С. О. Шатуновського (опубліковані в 1923 р.), американських математиків Е. Г. Мура і Г. Л. Сміта (1922 р.) і французького математика А. Картана (1937 р.).
1.2 Основні поняття та визначення числової послідовності
Числова послідовність є функція натурального аргументу. Поняття числової послідовності виникло і розвивалося задовго до створення вчення про функції. Ось приклади нескінченних числових послідовностей:
1) 1, 2, 3, 4, 5, ... - послідовність натуральних чисел.
2) 2, 4, 6, 8, 10, ... - послідовність парних чисел.
3) 1, 3, 5, 7, 9, ... - послідовність непарних чисел.
4) 1, 4, 9, 16, 25, ... - послідовність квадратів натуральних чисел.
5) 2, 3, 5, 7, 11, ... - послідовність простих чисел.
Число членів кожної послідовності нескінченно. Всі перераховані послідовності, крім останнього прикладу, є заданими на увазі того, що для кожної з них відомий загальний член, тобто правило отримання члена з будь-яким номером. Для послідовності простих чисел загальний член не відомий, однак, ще в III ст. до н.е. олександрійський учений Ератосфен вказав спосіб отримання n- го її члена («решето Ератосфена»).
Визначення 1. Якщо кожному числу n натурального ряду чисел 1, 2, ..., n, ... ставиться у відповідність за певним законом деякий дійсне число xn , то безліч дійсних чисел,,, ...,, (1) розташованих у порядку зростання номерів n , називається xn числовою послідовністю.
Числа називаються елементами або членами послідовності (1) .
Наприклад, позначається послідовність 1,, ...,, ..., а
{1 + (- 1) n} - послідовність 0, 2, 0, 2, ....
Розрізняють такі види послідовності:
а) монотонні послідовності;
b) обмежені і необмежені послідовності;
c) нескінченно малі послідовності;
d) послідовності Аршона;
e) послідовність, що встановлюється, наближеним методом (процес радіоактивного розпаду).
Монотонні послідовності
До монотонним послідовностям відносять убуваючі, незростаюча, зростаючі, неубутною послідовності.
Визначення 2. Послідовність an називається спадної , якщо кожен попередній член більше подальшого, тобто якщо
> > > ...> > > ...
Або послідовність називається спадної , якщо an +1 < an , для всіх n.
Визначення 3. Послідовність an називається незростаюча , якщо? , Для всіх n , або, іншими словами, кожен попередній Член не менше наступного.
Визначення 4. Послідовність an називається зростаючою , якщо кожен наступний член більше попереднього, тобто
< < < ... < < < ... < , Для всіх n .
Визначення 5. Послідовність an називається неубутною , якщо? ,, Для всіх n , або, іншими словами, кожен подальший Член не менше попереднього.
Обмежені і необмежені послідовно...
