к відомо, для прагнучого до нескінченності числа x існує межа
?? (1 +1 x) x=e,
де e=2,718281828 ... - основа натуральних логарифмів. Ця формула називається другим чудовим межею. З неї випливає, зокрема, що справедливе співвідношення
?? (1 + jm) m=ej
Значить, якщо капіталізація відсотків здійснюється досить часто, наприклад, щодня, то ефективну процентну ставку можна наближено знайти наступним чином:
? ej? 1
.1.4 Накопичення
Виберемо деякий проміжок часу в якості одиничного (як правило, один рік) і припустимо, що процентна ставка за цей проміжок дорівнює. Припустимо, що в момент сума S інвестується на одиниць часу. За принципом складних відсотків в момент часу капітал S перетвориться на суму
.
Величина
називається коефіцієнтом накопичення за час.
.1.5 Інтенсивність відсотків
Інтенсивність відсотків - це миттєва відносна швидкість накопичення коштів
Оскільки, то коефіцієнт накопичення за час можна записати у вигляді
.
Інтенсивність відсотків зручно використовувати для вивчення накопичень у разі змінюються процентних ставок. У цьому випадку
і
.1.6 Номінальні відсоткові ставки
Розглянемо проміжок часу довжиною. Якщо в якості одиниці вимірювання прийнято один рік, то найбільш часто зустрічаються випадки: (розглянутий проміжок часу дорівнює одному місяцю); (Квартал); (Півріччя).
Ефективна процентна ставка за цей проміжок часу дорівнює
.
Однак у фінансовій математиці прийнято характеризувати прибутковість вкладення коштів на проміжку не ефективною (тобто реальної) процентною ставкою, а так званої номінальної відсоткової ставки
.
Іноді величину називають номінальною процентною ставкою сплачується (нараховується) з частотою.
Суть номінальної процентної ставки така. Якщо ви поклали гроші в банк, то відсотки за вкладом будуть нараховуватися не безперервно, а з деякою періодичністю - раз на рік, квартал, місяць або навіть день. Цей процес нарахування процентних грошей і їх приєднання до суми вкладу називається «капіталізацією відсотків». Припустимо, що капіталізація відсотків відбувається m раз на рік. Тоді, якщо відома j-номінальна процентна ставка по вкладу, то кожен раз при нарахуванні відсотків сума на рахунку вкладника буде збільшуватися в раз.
.2 Способи обчислення процентних ставок
.2.1 Найпростіший спосіб обчислення процентних ставок
Ефективна процентна ставка - це складна процентна ставка по кредиту, розрахована в припущенні, що всі платежі, необхідні для отримання даного кредиту, йдуть на його погашення.
Тобто, якщо в результаті отримання кредиту розміром S0 позичальник змушений здійснювати платежі R0, R1, R2, ..., Rn в моменти часу t0=0, t1, t2, ..., tn відповідно (включаючи платежі із самого кредиту, побічні комісії , страхові виплати тощо), то ефективна процентна ставка i знаходиться зі співвідношення:
Ефективна процентна ставка служить в першу чергу для порівняння між собою різних банківських пропозицій, і при її обчисленні точні дати здійснення платежів зазвичай невідомі. Тому, якщо платежі відбуваються через формально однакові проміжки часу тривалістю? (Щомісяця, щокв...
