ті), что для будь Якого розв »язку ривняння
,
Задовольняючого в момент нерівності
при буде Виконувати нерівність
За знайдення и заданому віберемо так что при на відрізку віконувалась нерівність
Припустиме тепер, что нерівність
Чи не віконується для всіх. Тоді, очевидно, знайдеться такий момент, что
причому при буде Виконувати нерівність
Тоді на відрізку таке, что
Таких точок может буті декілька. У цьом випадка візьмемо саму крайню (найбільшу) з них. Нехай Тоді для буде Виконувати нерівність
Отже при будемо мати
Нехай тепер - будь-який розв'язок усередненої системи, задовольняючої початковій умові маючі на увазі Рівність
и ВРАХОВУЮЧИ, что в якості, знаходимо
.
Альо тепер можна вібрато так, что на відрізку буде Виконувати нерівність
.
З Іншої стороні, ЯКЩО, то
тоб
Однак при маємо
отримай протіріччя. Теорема доведена.
Тому доведені теореми для стандартних систем на скінченому и нескінченому проміжку могут буті вікорістані для системи вигляд (5), а такоже на системи з повільнімі І ШВИДКО зміннімі вигляд (1).
Розглянемо систему (1). Нехай для цієї системи ставитися завдання Коші
Для системи (5) отрімаємо наступні Початкові дані:
де візначаємо з рівняння
Нехай існують границі
Тоді Системі (5) поставімо у відповідність усереднену систему
Згідно з теоремами про усереднені в стандартних системах, для будь-якого можна вказаті таке, что при на відрізку будут Виконувати нерівності
Нехай функція задовольняє умови Ліпшіца
Введемо позначення
Маємо
Отже на відрізку для системи (1) Зі Швидко та повільнімі зміннімі ми отримай набліженій розв'язок
Відмітімо, что в багатьох випадка до системи (5) доцільно застосовуваті Частинами усереднення, тоб усереднюваті Тільки перше рівняння в (5). Нехай існує границя (6). Відносно Існування границі (7) ніякіх припущені делать не будемо. Тоді Системі (5) поставімо у відповідність Частинами усереднену систему:
Формулювання теорем про блізькість розв'язків системи з повільнімі та швидка зміннімі
Сформулюємо для цього випадка одну з можливіть теорем про усереднення.
Теорема 1: Нехай Функції, и візначені и неперервні в области и нехай в области:
Функції X и F обмежені и задовольняють умові Ліпшіца по x и по y;
