бігається з точкою О, то це рівність вірно, так як О - середина відрізка АВ. Нехай М і О - різні точки. Прямокутні? ОАМ і? ОВМ рівні за двома катетам (ОА=ОВ, ОМ - загальний катет), тому АМ=ВМ.
) Розглянемо довільну точку N, рівновіддалену від кінців відрізка АВ, і доведемо, що точка N лежить на прямій m. Якщо N - точка прямої АВ, то вона збігається з серединою Про відрізка АВ і тому лежить на прямій m. Якщо точка N не лежить на прямій АВ, то розглянемо? АNB, який рівнобедрений, оскільки АN=BN. Відрізок NO - медіана цього трикутника, а отже, і висота. Таким чином, NO перпендикулярна АВ, тому прямі ON і m збігаються, і, значить, N - точка прямої m. Теорема доведена.
Слідство. Серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці, (центр описаного кола).
Позначимо О, точку перетину серединних перпендикулярів m і n до сторін АВ і ВС? АВС. По теоремі (кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від кінців цього відрізка. Зворотно: кожна точка, рівновіддалена від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикуляре до нього.) Ми робимо висновок що ОВ=ОА і ОВ=ОC тому: ОА=ОС, т е точка О рівновіддалена від кінців відрізка АС і, значить, лежить на серединному перпендикуляре p до цього відрізка. Отже, всі три серединних перпендикуляра m, n і p до сторін? АВС перетинаються в точці О.
У остроугольного трикутника ця точка лежить всередині, у тупоугольного - поза трикутника, у прямокутного - на середині гіпотенузи.
Властивості серединного перпендикуляра трикутника:
Прямі, на яких лежать бісектриси внутрішнього і зовнішнього кутів трикутника, що виходять з однієї вершини, перетинаються з серединним до протилежні стороні перпендикуляром з діаметрально протилежних точках описаної близько трикутника окружності.
Рис. 2.1
Доказ. Нехай, наприклад, бісектриса ABC перетинає описану близько? ABC окружність у точці D (рис. 2.1). Тоді так як вписані ABD і DBC рівні, то AD=дузі DC. Але серединний до сторони AC перпендикуляр також ділить дугу AC навпіл, тому точка D буде належати і цьому серединному перпендикуляру. Далі, оскільки по властивості 30 з пункту 1.3 бісектриса BD ABC, суміжного з ABC, то остання перетне коло в точці, діаметрально протилежніой точці D, так як вписаний прямий кут завжди спирається на діаметр.
. 2 Ортоцентр кола трикутника
Висота - перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить протилежну сторону.
Висоти трикутника (або їх продовження) перетинаються в одній точці, (ортоцентр).
Доказ. Розглянемо довільний? АВС і доведемо, що прямі АА1, ВВ1, СС1, що містять його висоти, перетинаються в одній точці. Проведемо через кожну вершину? АВС пряму, паралельну протилежній стороні. Отримаємо? А2B2C2. Точки А, B і С є середини сторін цього трикутника. Дійсно, АВ=А2C і АВ=СВ2 як протилежні сторони паралелограмів АВА2C і АВСВ2, тому А2C=СВ2. Аналогічно С2A=АВ2 і С2B=Ва2. Крім того, як випливає з побудови, СС1 перпендикулярний А2B2, АА1 перпендикулярний В2C2 і ВВ1 перпендикулярний А2C2. Таким чином, прямі АА1, ВВ1 і СС1 є серединний перпендикуляр до сторін? А2B2C2. Отже, вони перетинаються в одній точці.
В залежності від виду трикутника ортоцентр може перебувати всередині трикутника в гострокутих, поза ним - в тупоугольного або збігатися з вершиною, в прямокутних - збігається з вершиною при прямому куті.
Властивості висоти трикутника:
Відрізок, що сполучає заснування двох висот гострокутного трикутника, відсікає від нього трикутник, такий даному, зі коефіцієнтом подібності рівним косинусу загального кута.
Рис. 2.2
Доказ. Нехай AA1, BB1, CC1 - висоти гострокутного трикутника ABC, а ABC =? (рис. 2.2). Прямокутні трикутники BA1A і CC1B мають загальний? , Тому вони подібні, а значить, BA1/BA=BC1/BC=cos?. Звідси випливає, що BA1/BC1=BA/BC=cos? , Тобто в? C1BA1 і? ABC боку, прилеглі до загального? , Пропорційні. А тоді за другою ознакою подібності трикутників? C1BA1 ~? ABC, причому коефіцієнт подібності дорівнює cos?. Аналогічним чином доводиться, що? A1CB1 ~? ABC з коефіцієнтом подібності cos BCA, а? B1AC1 ~? ABC з коефіцієнтом подібності cos CAB.
Висота, опущена на гіпотенузу прямокутного трикутника, ділить його на два подібних між собою і подібних вихідного трикутнику, трикутника.
Рис. 2.3
Доказ. Розглянемо прямокутний? ABC, у якого? BCA=900, а CD - його висота (рис. 2.3).
Тоді подобу? ADC і? BDC слід, на...
