час.
Рівняння, записані у вигляді системи диференціальних рівнянь 1-го порядку, розв'язаних відносно похідної, називаються нормальною формою Коші або просто нормальною формою.
У векторній формі наведені рівняння приймають вигляд
? = f (x, u, t), (1.2а)
? = h (x, u, t). (1.2б)
Тут x називають фазовим вектором або вектором станів, u - вектором управління або просто управлінням, а також вхідний змінної або просто входом, y - вихідним вектором або просто виходом. Безліч усіх векторів станів (фазових векторів) називають простором станів або фазовим простором. p align="justify"> Рівняння (1.2а) називають рівнянням станів, а рівняння (1.2б) - рівнянням виходу або рівнянням спостережень.
Якщо вхід і вихід системи є скалярними величинами, то такі системи називають одновимірними. Якщо хоча б одна із зазначених змінних є векторної, то такі системи називають багатовимірними. p align="justify"> Отже, дозволяючи задане рівняння (1.1) відносно старшої похідної, отримуємо:
? (t) =? 0,5 ? (t)? 0,1 [ ? (t)] 2? y (t)
Поклавши y = x1, ? = x2, отримаємо рівняння в нормальній формі:
? 1 = x2,
? 2 =? x1 - 0,1 - 0,5 x2
y = x1
Повна модель об'єкта в просторі станів називається моделлю вхід-стан-вихід і містить два рівняння - рівняння входу і виходу:
? (t) = A? x (t) + B? u (t)
y (t) = C? x (t) + D? u (t),
де через x (t) прийнято позначати вектор стану, через u (t) - вхід об'єкта (сигнал управління), через y (t) - вихід об'єкта.
2. Визначити положення рівноваги системи
Автономної системою для функцій x (t), y (t) називається система диференціальних рівнянь
= P (x, y), = Q (x, y), (2.1)
де праві частини не залежать від змінної t.
Нехай x = f (t), y = g (t) - рішення (2.1).
Положенням рівноваги, або точкою спокою, автономної системи диференціальних рівнянь (2.1) називається її рішення виду x = x0, y = y0.
Зазначимо, що траєкторія положення рівноваги - крапка, і P (x0, y0) = Q (x0, y0) = 0.
У простому випадку, коли P, Q - лінійні, тобто P (x, y) = ax + by, Q (x, y) = cx + dy, де a, b, c, d - постійні, система приймає вигляд
= ax + by, = cx + dy. (2.2)
Отже, знаходимо положення рівноваги системи
? 1 = x2,
? 2 =? x1 - 0,1 - 0,5 x2
Тут P (? 1,? 2) = x2, Q (? 1,? 2) =? x1 - 0,1 - 0,5 x2.
...
