сті
Визначення 6. Послідовність an називається обмеженою, якщо існують числа М і m такі, що для будь-якого n має місце рівність m ? an ? M. В іншому випадку вона називається необмеженою.
Наприклад, послідовність, an =і an = (- 1) n обмежені, так як 0 ? ? 1 і - 1? (- 1) n ? 1, для будь-якого n N . Послідовність an=n ; an =-n ; an =(- 1) n ? n є обмеженими.
Визначення 7. Послідовність an=n буде обмежена знизу, так як 1? n для будь-якого < i> n, n N і обмежена зверху, так як не існує числа М такого, що n? М для будь-якого n, n N. Аналогічно, послідовність an =-n ; є обмеженою зверху і обмеженої знизу, послідовність an =(- 1) n є необмеженою і зверху, і знизу.
Геометрична обмеженість послідовності an означає існування відрізка [m; M], на якому вміщено всі члени цієї послідовності. Справедливість цього твердження випливає з того факту, що всі члени обмеженою послідовності задовольняють нерівності m ? an ? M . Очевидно, що послідовність an буде обмеженою тоді і тільки тоді, коли існує таке число B , що | an | ? B , для будь-якого n . Дійсно, досить покласти B рівним найбільшому з чисел | m | і | M |.
Нескінченно малі послідовності
Визначення 8. Послідовність an називається нескінченно малою , якщо для будь-якого? > 0 існує номер N , починаючи з якого кожен член послідовності an по модулю менше?: (?> 0) ( N ) ( n ? N ) | an |
Визначення 8.1. Нескінченно мала послідовність - це послідовність, межа якої дорівнює 0.
Якщо деякий член послідовності an задовольняє нерівності | an | < ? або, що те ж саме, нерівності -? < an < ?, То він лежить всередині інтервалу (-?;?); якщо нерівність | an | < ? виконується для всіх n? N , то член послідовності з номером N і всі наступні за ним члени лежать всередині інтервалу (-?;?). Таким чином, можна дати наступне геометричне тлумачення нескінченно малою послідовності: якою б інтервал (- ?;?) ми не взяли, вся послідовність, починаючи , з номера N лежить всередині цього інтервалу.
Справедливо наступне твердження:
Теорема 1. Якщо a1 , a2 , ..., an , ... - монотонно зростаюча послідовність натуральних чисел і С > 0, то послідовність,, ...,, ... нескінченно мала.
Поняття нескінченно малою послідовність виявляється досить корисним при вивченні меж. Тому має місце наступна теорема.
Теорема 2. Для того щоб число а було межею послідовності a1 , a2 , ..., an , ... - необхідно і достатньо, щоб послідовність a1-a, a2 - a, ..., an - a, ... була нескінченно мала.
Слідство. Якщо послідовність a1, a2, ..., an, ... має межу а , то
an = а + ? n ,
