е, як зображення по Лапласа L [g (t)] вагової функції, знайдемо оригінал вагової функції, представивши передавальну функцію у вигляді твору зображень найпростіших функцій, оригінали яких можна знайти з довідкових таблиць зображень функцій.
L [g (t)] = W (p) = K/(T? p + 1) = (K/T)? 1/(p + 1/T). (16)
У нашому випадку зображення деякої невідомої функції f (t) дорівнює L [f (t)] = 1/(p + 1/T), якому відповідає оригінал f (t) = e pt , де p - є ніщо інше, як рішення (корінь) характеристичного рівняння, одержуваного прирівнянням вираження в знаменнику зображення L [f (t)] до нуля: p + 1/T = 0, звідки р = - 1/T. Отже, вираз для вагової функції буде мати вигляд:
g (t) = (K/T)? f (t) = (K/T)? e-t/T (17)
Перехідну функцію h (t) можна знайти інтегруванням правій частині виразу (17), яке виробляємо в операторної формі шляхом множення зображення ваговій функції L [g (t)] на ставлення (1/р), що представляє собою передавальну функцію інтегруючого ланки зі статичним коефіцієнтом посилення, рівним 1:
L [h (t)] = L [g (t)]? 1/р = (1/р)? (K/T)? 1/(p + 1/T). (18)
Для відшукання оригіналу функції h (t) розкладемо праву частину виразу (18) на елементарні дроби, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів.
(K/T)/[p? (p + 1/T)] = A/p + B/(p + 1/T) = [A? (p + 1/T) + B? p] /[p? (p + 1/T)], звідки
K/T = A/T + A? p + B? p = A/T + p? (A + B).
Прирівнюючи коефіцієнти в лівій і правій частинах отриманого виразу при однакових ступенях оператора р, отримаємо:
K/T = A/T, або А = К;
А + В = 0, звідки В =-А =-К;
отже:
(K/T)/[p? (p + 1/T)] = K/p - K/(p + 1/T) = K? [1/p - 1/(p + 1/T )]. (19)
Переходячи від зображень (19) до оригіналів найпростіших функцій, отримаємо вираз для перехідної функції аперіодичного ланки:
h (t) = K? (1 - e-t/T). (20)
Корінь характеристичного рівняння у зображенні (1/р) елементарної функції f (t) дорівнює нулю (р = 0), тому її оригінал дорівнює:
f (t) = e pt = e 0t = e 0 = 1.
Коливальне ланка . Динамічні властивості коливального ланки визначаються диференціальним рівнянням другого ступеня і залежать не тільки від постійної часу Т, а й від коефіцієнта ксі ?, званого коефіцієнтом демпфірування, що характеризує ступінь загасання коливань:
T2? y?? (t) + 2?? T? y? (t) + y (t) = K? x (t). (21)
Уявімо рівняння (21) у операторної формі і знайдемо з нього вираз для передавальної функції:
T 2 ? p 2 < span align = "justify">? y + 2 ? ? T? p? y + y = (T 2 ? p 2 + 2 ? ? T? p + 1)? y = K? x;
W (p) = y/x = K/(T 2 ? p 2 + 2 ? ? T? p + 1). (22)
З метою економії часу на увазі громіздкість виведення формули для перехідної характеристики наводимо її без виведення:
h (t) = K? [1 - (e - ? t/T /r)? sin (rt/T + ? )] (23)
Тут: r = > 0 - умова наявності коливань в ланці;
? = arctg (r/ ? ) - фазовий початковий кут;
r/(2 ? T ) = f - частота згасаючих коливань ланки.
Вагову функцію g (t) коливального ланки можна знайти, взявши похідну від перехідної функції h (t):
g (t) = h? (t) = (K/T)? e-? t/T? [(?/r)? sin (rt/T +?) - cos (rt/T +? )] (24)
Лекція 2. Перехідні процеси в САУ
