ді для будь-якого існує, таке, что ЯКЩО,, то
В
Звідсі віпліває, что для будь-якого віконується нерівність
,
тоб ЯКЩО, то, что ї означає, що. Необхідність умови (11) доведена. p> Доведемо достатність умови (11). Виконання умови (11) означає, что для будь-якого існує таке, что ЯКЩО, то
,
при,, І, тоб функція рівномірно неперервно на.
Теорему доведено.
Мі бачили Вище, что на відрізку, тому
,
І, отже, функція рівномірно неперервно на цьом відрізку. Модуль неперервності тієї ж Функції, альо Вже розглянутої на всій явній осі, так само як и Модулі неперервності, І,, що не прямують до нуля при, и того ВСІ ці Функції НЕ є рівномірно неперервно на відповідній множіні. br/>
. Класі функцій, что візначаються дерло модулями неперервності
користуючися Поняття модуля неперервності, введемо Такі класи функцій.
Означення 1.
При шкірному фіксованому класом Гельдера (або Ліпшіця) порядку назівається множини всех неперервно функцій, модуль неперервності кожної з якіх задовольняє умові
(1)
де - будь-яка додатного стала, яка НŠ​​покладів Від і яка, взагалі Кажучи, є різною для різніх функцій. Цею клас позначається або. p> Через або (або) позначається підклас усіх тихий функцій з класу Гельдера (Ліпшіця) порядку, для якіх Умова (1) віконується при одному и тому ж фіксованому значенні сталої. Очевидно, что ЯКЩО то тоді тім больше
навпаки, ЯКЩО то при Деяк (может буті, й достатньо великому)
Зауваження 1.
Так як на підставі Властивості 6) ніякий модуль неперервності прі не может буті Нескінченно малою більш високого порядку, чем, то при нерівність (1) становится Неможливо І, отже, що не має Сенсі Розгляд класів при
Зх Розглянуто нами раніше прікладів видно, что при всех:
1. , отже, тим больше
2. при
3. и в тій же година при будь-якому
де,
Так як модуль неперервності в Теорії набліжень відіграє ВАЖЛИВО роль позбав при Достатньо малих значеннях то ми всегда будемо вважаті, что Тоді для будь-яких буде.
Звідсі віпліває, что при Іншімі словами, кла тім Ширшов, чім менше порядок.
Серед усіх класів Гельдера порядку найбільше Значення має клас. Цею клас часто назівають класом Ліпшіця и позначають через або
Теорема 1.
Для того щоб функція при звітність, и Достатньо, щоб вона булу абсолютно неперервно и щоб почти всюди
задовольняла нерівність
В
Доведення
Необхідність
Нехай тоб нехай Покажемо, что в такому випадка функція абсолютно неперервно. Справді, візьмемо Довільне и будь-яку сукупність елементарних непересічних відрізків таких, что НЕ перетінаються
В
Так як
В
...
