визначення множення натуральних чисел можна ввести, спираючись на основні поняття і визначення складання.
Перш ніж це зробити, зауважимо, що якщо будь-яке натуральне число a помножити на 1, то отримаємо a, тобто має місце рівність АХ1=а, їли відомо, що 6х8=48, то для знаходження твори 6х9 досить до 48 додати 6, так як 6х9=6х (8 + 1)=6х8 + 6=48 + 6=54. Таким чином твір ах (b + 1) можна знайти, якщо відомо твір числа а і числа, за яким безпосередньо слід b + 1: aх (b + 1)=aхb + а
Використовуючи введену символіку отримуємо: aхb=aхb + a, тобто твір будь-якого натурального числа а і числа b, безпосередньо наступного за b, дорівнює сумі твори чисел a і b і числа а.
Ці закономірності покладені в основу визначення множення натуральних чисел в аксіоматичної теорії. Крім того, в ньому використовується визначення алгебраїчної операції.
Розглянемо визначення:
Множенням натуральних чисел називається алгебраїчна операція, певна на безлічі N натуральних чисел і що володіє властивостями:
1) (VaN) АХ1=а
) (Va, bN) aхb=aхb + a
Кількість aхb називається твором числа aхb, а самі числа a і b - множниками.
Використовуючи визначення множення і таблицю додавання, можна скласти таблицю множення однозначних чисел. Складається вона поетапно: спочатку розглядаються випадки множення на одиницю, потім - одиниці на число, число 2 на число 2, 3 і так далі.
) 1х1=1, 2х1=2, 3х1=3
) 1х2=1х1=1х1 + 1=1 + 1=2
) 2х2=2х1 + 2=2 + 2=4
Приклади завдань з підручників:
Обчисли значення твору 4хd, якщо d=5, d=6
Виріши другий приклад пари, користуючись першим:
х5=10 9х4=36 7х6=42
х6 =? 9х5 =? 7х7 =?
Розглянемо аксіоматичний підхід до визначення ділення натурального числа.
Приватним натуральних чисел a і b називається натуральне число з=а/b, що задовольняє умові bхс=а.
Дія, за допомогою якого знаходитися приватне чисел а і b, називається поділом, число а - діленим, число b - дільником.
Для того, щоб існувало приватне двох натуральних чисел а і b, необхідно, щоб bа.
Визначення розподілу як операції, зворотної множенню, в загальному вигляді не дається, хоча зв'язок ділення з множенням розглядається при вивченні теми «Знаходження невідомого множника». На цьому етапі відбувається узагальнення двох смислів приватного, що мають місце при його теоретико-множинної трактуванні. Виконуючи поділ, наприклад, 15 на 3, учні повинні підібрати таке число при множенні якого на дільник вийти ділене; таким числом буде 5, так як 5х3=15, значить 15/3=5.
2.2 Теоретико-множинний підхід до визначення понять добутку і частки
У початковому курсі математики дії: додавання, віднімання, множення і ділення цілих невід'ємних чисел вводитися на основі практичних вправ, пов'язаних з об'єднанням двох (кількох) множин предметів (теоретико - множинна термінологія і символіка при цьому не використовується).
Розглянемо поняття дій над цілими невід'ємними числами.
Множення.
Поняття твори цілих невід'ємних чисел може бути визначене по-різному. Розглянемо спочатку підхід, в основі якого лежить поняття суми.
Визначення.
Твором цілих невід'ємних чисел а і b називається таке ціле невід'ємне число ахb, яке задовольняє наступним умовам:
1) aхb=a + a + ... + a при b gt; 1 доданків
) АХ1=а при b=1
) АХ0=0 при b=0
Теоретико - множинний зміст цього визначення наступний. Якщо множини А1, А2, ..., Аb мають по а елементів кожне і ніякі дві з них не перетинаються, то об'єднання містить ахb елементів. Отже, твір ахb - це число елементів в об'єднанні в попарно непересічних множин, кожне з яких містить по а елементів. Рівності АХ1=а і АХ0=0 приймаються за умовою.
Дія, за допомогою якого знаходять твір чисел а і b, називають множенням; числа, які множать, називають множниками.
Твір будь-яких цілих невід'ємних чисел існує, і він єдиний.
З даним визначенням учні знайомляться в початкових класах. Сенс його розкривається при вирішенні простих завдань.
Розглянемо, наприклад, таку задачу: «На кожне дитяче пальто потрібно пришити 4 гудзики. Скільки ґудзиків потрібно пришити на 6 таких пальто? »Чому вона вирішується за допомогою множення? Тому, що в ній потрібно знайти число елементів в об'єднанні, що складається з 6 множин, в кожному з яких по 4 елемента. Згідно з визначенням це число знаходитися множенням: 4х6=24 (гудзики).
Нами визначено твір двох чисел. А як визначити твір декількох множників? Розглянемо.
Нехай добуток двох множників визначено і визначено твір і множників. Тоді твір, що складається з п + 1 множника, тобто твір а1ха2х ... хапхап + 1 одно (а1ха2х .....
