щини, (Рис.7, б).
· параболічної, якщо K=0, H? 0, (Рис.7, в).
· точкою уплощения, якщо K=H=0, розташування точок поверхні, близьких до точки уплощения, щодо дотичної площини поверхні в цій точці може бути різноманітним, (Рис.7, г).
· при K=H 2 - отримуємо омбіліческіе точки, вони поділяються на точки уплощения й кульові точки, в яких K=H 2 gt; 0.
Рис.7, а б в г
§7. Мінімальні поверхні
Відзначимо один чудовий клас поверхонь негативною повної кривизни - мінімальні поверхні. Так називаються поверхні з середньою кривизною H, рівною нулю у всіх точках, які, починаючи з 1960 р, найчастіше привертали увагу геометрів.
Ці поверхні характеризуються тим властивістю, що площа їх локально мінімальна в порівнянні з площею інших гіперповерхонь, що відрізняються від вихідної тільки всередині (кожного) кулі досить малого радіуса (Рис.8).
Фізичної моделлю мінімальних поверхонь є «мильні плівки», що виникають на замкнутих контурах, виготовленої з дроту, після вилучення їх з посудини, наповненого мильною водою. При цьому на один і той же контур можна натягнути кілька мінімальних плівок. Виведемо рівняння двовимірних мінімальних поверхонь. Так як
Рис. 8
,
то рівняння Н=0 приймає вигляд:
GL - 2MF + EN=0.
Якщо поверхня задана за допомогою графіка z=f (x, y), то:
;
; ;.
отже,
Вже сам вигляд цього рівняння і приватних похідних (рішеннями якого і є мінімальні поверхні) показує, що рішення його досить складно. Евклидова площина є мінімальною поверхнею, так як Q=0.
Більш складний приклад некомпактності мінімальної поверхні виходить так: розглянемо в R3 дві ортогональні, пересічні в точці О, прямі l1 і l2. Фіксуємо пряму l1 і будемо переміщувати вздовж неї, з постійною кутовою швидкістю? навколо осі l1 (виникає гвинтовий рух). Пряма l2 буде замітати деякий двовимірне гладке різноманіття, яке називається прямим гелікоїду (Рис.9), який є мінімальною поверхнею.
Рис.9
Розглянемо некомпактності мінімальну поверхню обертання, утворену обертанням навколо осі ox гладкої кривої? (t), що задається рівнянням y=ach. Як відомо з курсу аналізу, ця крива визначає форму провисання важкого ланцюга, закріпленої в двох точках: А і В (Рис.10). При цьому ми припускаємо, що важка коло підвішене досить високо, так що крива y (x) не перетинає осі ox. Сила тяжіння спрямована вниз, уздовж осі oy. відповідна поверхня називається катеноїд (рис.11), середня кривизна якої дорівнює 0.
Рис. 10Ріс. 11
Отже, катеноїд - мінімальна поверхню. Якщо розглянути тільки ту частину катеноїд, яка укладена між двома колами, утвореними обертанням точок А і В навколо осі ox, то отримаємо приклад мінімальної поверхні, натягнутої на контур, що складається з цих двох граничних кіл.
Існує ще мінімальна з тим же граничним контуром - це два диска, що затягують граничні кола (Рис. 12).
Рис. 12
Ця мінімальна плівка існує для будь-якої пари точок А і В, у той час як катеноїд далеко не завжди натягується на граничні окружності. Якщо точки А і В розташовані досить далеко один від одного, то катеноїд побудувати не можна (Мал. 13).
Перешкода до його побудови особливо наочно проявляється, коли ми починаємо розсовувати граничні окружності, розтягуючи катеноїд, спочатку побудований для досить близько розташованих точок А і В. Процес розтягування показаний на Рис. 14. При розтягуванні важка ланцюг починає провисати, горловина катеноїд зменшується, і в момент її торкання з віссю ox гауссова кривизна поверхні в точці дотику звертається в нескінченність (мильна плівка розривається).
Ще один приклад контуру, для якого існує два рішення рівняння Н=0, показаний на Рис. 15. Тут обидві мінімальні плівки гомеоморфні один одному.
Рис. 13 Рис. 14
Рис. 15
Залежно від способу вкладення окружності S1 і R3 змінюється і вид затягивающих її мінімальних плівок. При стандартному вкладенні S1 в площину (x, y): x2 + y2=1 мінімальна плівка, яка затягує цей контур. Тільки одна і збігається з диском x2 + y21. Якщо ж S1 два рази обертається навколо осі oz, то рішення рівняння Н=0 є листом Мебіуса (Мал. 16).
Рис. 16
Якщо S1 обертається навколо осі oz три рази, то рішення рівняння Н=0 є «потрійним листом Мебіуса» (Мал. 17). Його можна отримати, переміщаючи уздовж окружності, стандартно вкладеної в площину, «трилисник», складений з трьох відрізків однакової довжини, що з'єднуються під рівними кутами 2?/3. При цьому трилисник повинен після повного обороту навколо кола перей...
