управління з використанням граміана керованості (критерій - мінімізація енергії)
Система має вигляд:
В
з початковими умовами:
, p>.
Складемо матрицю керованості і перевіримо керованість системи:
В В
.
Складемо граміан керованості для даної системи:
В
Знайдемо граміан по формулою:
В В
Тоді управління має вид:
.
або
В
Нижче представлений графік оптимального управління отриманого за допомогою скрипта Gramian_Uprav.m.:
В
Рис.21. Графік оптимального управління.
Графіки фазових координат аналогічні, як і в оптимальній L - проблемі моментів.
Порівняємо управління, отримане в початковій і кінцевій точках у пунктах 3 і 4 відповідно:
і p> Висновки: Як видно, значення граничних управлінь збігаються. А це означає, що завдання переведення об'єкта з початкового стану в кінцеве вирішена з високим ступенем точності і з мінімальною енергією.
Графічне порівняння оптимальних управлінь з пунктів 3 та 4:
В В
Рис.21. Порівняння графіків оптимального управління. <В В
5. Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів (АКОР)
5.1 Стабілізації об'єкта управління на напівнескінченної інтервалі часу
Розглянемо лінійний об'єкт управління, описуваний системою диференціальних рівнянь в нормальній формі
В
Необхідно отримати закон управління
В
здатний мінімізувати функціонал виду
В
Початкові умови для заданої системи
Моменти часу фіксовані. Матриці - симетричні неотрицательно певні:
В
матриця - позитивно певна:
В
Матричне диференціальне рівняння Риккати має вигляд:
В
Якщо лінійна стаціонарна система є повністю керованої і спостережуваної , то рішення рівняння Риккати при прагне до сталому рішенню не залежному від і визначається наступним алгебраїчним рівнянням:
В
У розглянутому випадку вагові матриці і в функціоналі не залежать від часу.
Оптимальне значення функціоналу одно
В
і є квадратичною функцією від початкових значень відхилення вектора стану.
Таким чином, отримуємо, що при оптимальне управління набуває форми стаціонарної зворотного зв'язку за станом
В
де - рішення алгебраїчного матричного рівняння Риккати.
5.1.1. Рішення алгебраїчного рівняння Риккати методом діагоналізації
Для вирішення даної задачі знайдемо вагові матриці і:
Виберемо довільно, тоді
В
Взявши значення з рішення задачі L - проблеми моментів одержимо:
В
В
Матриці системи мають вигляд:
...
