>
систему (2.1) можна замінити одним рівнянням:
, (2.2)
щодо векторної функції векторного аргументу.
Таким чином, вихідну завдання можна розглядати як завдання про нулях нелінійного відображення. У такій постановці дана задача є прямим узагальненням задачі про знаходження рішення нелінійного рівняння для випадку просторів більшої розмірності. Це означає, що можна будувати методи її вирішення як на основі обговорених в попередній лекції підходів, так і здійснювати формальне перенесення виведених для скалярного випадку розрахункових формул. Однак не всі результати і не всі методи виявляється можливим перенести формально (наприклад, метод половинного поділу). У будь-якому випадку слід подбати про правомірність тих чи інших операцій над векторними змінними і векторними функціями, а також про збіжність одержуваних таким способом ітераційних процесів. Відзначимо, що перехід від до вносить до завдання знаходження нулів нелінійного відображення свою специфіку, облік якої призвів до появи нових методів і різних модифікацій уже наявних методів. Зокрема, велика варіативність методів вирішення нелінійних систем пов'язана з різноманітністю способів, якими можна вирішувати лінійні алгебраїчні завдання, що виникають при покрокової лінеаризації даної нелінійної вектор - функції.
Почнемо вивчення методів вирішення нелінійних систем з методу простих ітерацій.
Нехай система (2.1) перетворена до наступної еквівалентної нелінійної системі:
(2.3)
або в компактній запису:
=. (2.4)
Для цього завдання про нерухому точку нелінійного відображення запишемо формальне рекуррентное рівність:
(2.5)
де яке визначає метод простих ітерацій для задачі (2.3).
Якщо почати процес побудови послідовності з деякого вектора і продовжити обчислювальний процес за формулою (2.5), то при певних умовах дана послідовність зі швидкістю геометричної прогресії наближатиметься до вектора
- нерухому точку відображення.
Справедлива наступна теорема, яку ми наводимо без доведення
Теорема 2.1. Нехай функція і замкнутий безліч такі, що:
1. для будь-якого
2. для будь-якого
Тоді має в М єдину нерухому точку последовтельность обумовлена ??(2.5), сходиться при будь-якому справедливі оцінки
для будь-якого
Відзначимо низьку практичну цінність даної теореми з - за неконструктивності її умов. У випадках, коли вибрано гарне початкове наближення рішенням, більший практичний інтерес представляє наступна теорема.
Теорема 2.2. Нехай дифференцируема в замкнутому кулі причому Тоді якщо центр і Радус r кулі S такі, що то справедливо висновок теореми 2.1 .
Запишемо метод послідовних наближень (2.5) у розгорнутому вигляді:
(2.6)
Враховуючи, що в лінійному випадку, як правило, більш ефективним є метод Зейделя, в даному випадку також може виявитися більш ефективною його багатовимірний аналог, званий методом покоординатного ітерацій .
(2.7)
Зауважимо, що, як і для лінійних систем, окремі рівняння в (2.7) нерівноправні, тобто зміна місцями рівнянь системи (2.3) може змінити в деяких межах число ітерацій і взагалі ситуацію зі збіжністю послідовності ітерацій. Для того щоб застосувати метод простих ітерацій (2.6) або його зейделеву мод...
