(3.4)
Коли для будь-яких виборів g, слід так само що f=0, це використовується надалі у формуванні методу скінченних елементів для мінімізації помилок.
Загальний огляд програми.
Три набору систем рівнянь в приватних похідних вирішуються для динамічного випадку та два для стійкого стану. У стаціонарному випадку стан вимагає знаходження електричного потенціалу в полетензора. У динамічному моделюванні, додатково можна включити зону потоку рідкокристалічного матеріалу і його вплив натензорное поле. Загальний підхід до вирішення цих рівнянь дається таким чином.
Кожен крок полягає в знаходженні розподілу електричного потенціалу відповідно до полем Q-тензора.Тензор динаміки розраховується з використанням ітеративного тимчасового кроку схеми. Це показано на малюнку 3.1 стрілкою «петля ітерацій Ньютона». На практиці, час виконання цього циклу займає велику частину від загального часу роботи програми. Сітка кінцевих елементів може бути уточнена в кінці кожного часового кроку, якщо це необхідно.
3.2 Електростатичний потенціал
Зовні докладені електричні поля використовуються для перемикання пристрої ЖК. Електричне поле дає негативний градієнт електричного потенціалу, який задовольняє
Рівнянню Пуассона:
(3.5)
Де - діелектрична постійна, р - щільність заряду,
А може бути записана як складова Q-тензора:
(3.6)
Щільність заряду пов'язана з іонами в матеріалі ЖК.
Апроксимація виразу (5.31) дає нам:
(3.7)
Інтегруючи вроздріб:
(3.8)
Де є одиничним вектором нормалі до кожного елементу. Граничний член зводиться до нуля у внутрішні елементи, які не мають жодної позиції на зовнішніх кордонах сітки кінцевих елементів і, у зв'язку з протилежним напрямком векторів сусідніх елементів, може бути проігноровано. Тим не менше, слід брати до уваги елементи, де виконується умова Неймана я:
(3.9)
Тут поверхневий інтеграл може бути розрахований, беручи до уваги умова Неймана. Результуюча матриця:
(3.10)
й вихідний вектор визначається за формулою:
(3.11)
Таким чином, ми переходимо до декартовим координатам, знаходження яких вирішується як це написано розділом вище.
.3 Q-тензор
Для рішення рівняння Ейлера-Лагранжа, які мінімізують вільну енергію рідких кристалів, Q-тензор симетрії повинен бути постійний. Якщо ці умови виконані, то Q-Тензор представляє п'ять незалежних ступенів свободи: три обертальних ступенів свободи і два для порядку розподілу ЖК. Це можна вирішити для кожного з дев'яти компонент тензора при забезпеченні симетрії з використанням множників Лагранжа. Тим не менш, в обчислювальному відношенні, більш ефективно писати Q-тензор в пятимерном підпросторі, як:
(3.12)
Де:
(3.13)
Де: і одиничні вектори координат x, y і z - відповідно.
Таким чином вільну енергію можна записати у вигляді модифікованого Q ~ тензора. Це призводить до п'яти рівнянь
Ейлера-Лагранжа, задовольняють безперервності і властивостями симетрії:
(3.14)
Далі для уникнення помилок рішень рівнянь йде програмування вихідного коду на Maple.
<...
