Федеральне агентство з освіти
Новокузнецький філія-інститут
ГОУ ВПО В«Кемеровський державний університетВ»
Кафедра інформаційних систем та управління ім. В.К. Буторіна
Контрольна робота
з дисципліни В«Теорія управлінняВ»
Методи безумовної багатовимірної оптимізації
(Варіант 20)
Виконали: студенти IV курсу
групи ПІЕ - 061
Тімохова А.В.
Годун І.А.
Керівник: асистент
кафедри ІСУ
Щепетов
Олексій
Вікторович
Новокузнецьк 2009
1 Завдання про оптимальний розподіл інвестицій
Задача: Розподілити Т = 100 ден.ед. по чотирьох підприємствам з метою отримання максимального сумарного прибутку. Прибуток з підприємств задається таблицею 1.1.
Таблиця 1.1
X
g1
g2
g3
g4
0
0
0
0
0
20
11
24
12
35
40
26
22
28
33
60
31
32
37
36
80
42
41
47
40
100
58
59
53
54
Процес оптимізації розіб'ємо на n кроків (в нашому завданні n = 4). На k-му кроці будемо оптимізувати інвестування не всіх підприємств, а тільки з k-го по n-е. При цьому на них витрачаються не всі кошти, а деяка менша сума Ck ≤ Т, що і буде змінною стану системи. Змінної управління на k-му кроці назвемо величину xk коштів, вкладаються в k-е підприємство. В якості функції Беллмана Fk (Ck) на k-му кроці в цьому завданні можна вибрати максимально можливий прибуток, яку можна отримати з підприємств з k-го по n-е за умови, що на їх інвестування залишилося Ck засобів. Очевидно, що при вкладенні в k-е підприємство xk коштів отримаємо прибуток gk (xk), а система в (k +1)-му кроці перейде в стан Ck +1 = Ck - xk, тобто на інвестування підприємств з (k +1)-ого ​​до n-го залишиться Ck +1 коштів.
Таким чином, на першому кроці умовної оптимізації при k = n функція Беллмана являє собою прибуток лише з n-го підприємства. При цьому на його інвестування може виділятися кількість коштів Ck, 0 ≤ Ck ≤ Т. Очевидно, щоб отримати максимум прибутку з цього останнього останнього підприємства, треба вкласти в нього всі ці кошти, тобто Fn (Cn) = gn (Cn) і xn = Cn. p> На кожному з наступних кроків для обчислення функції Беллмана слід використовувати результати попереднього кроку. Максимально можлива прибуток, яка може бути отримана підприємствами з k-го по n-е, дорівнює:
.
Максимум цього виразу досягається на деякій значенні x * k, яке і є оптимальним керуванням на k-м кроці для стану системи Ck. Аналогічно можна відшукати функції Беллмана та оптимальні управління аж до кроку k = 1.
Функція Беллмана F1 (C1) являє собою максимально можливий прибуток з усіх підприємств (з 1-го по n-е), а значення x * k, на якому досягається максимум прибутку, є оптимальною кількістю коштів, які необхідно вкласти в 1-е підприємство. Далі, для всіх наступних кроків обчислюється величина Ck = Ck-1 - Xk і оптимальним керуванням на k-му кроці є те значення Xk, яке доставляє максимум прибутку при відповідному стан системи Ck.
Рішення.
Етап I. Умовна оптимізація. p> Крок 1. k = 4. Припускаємо, що всі кошти 100 ден.ед. передані на інвестування третього підприємства. У цьому випадку максимальна прибуток складе F4 (C4) = 54, див. таблицю 1.2.
Таблиця 1.2
С4
x4
F4 (C4)
X * 4
0
20
...
