гальненої позиційної системи освіту цифри кожного розряду проводиться незалежно один від одного. Цифра i-го розряду ai являє собою найменший позитивний залишок від ділення самого числа N, а не попереднього приватного, як це мало місце в позиційній системі, на ie підставу pi. Очевидно, що a i < p i.
У теорії чисел доведено, що якщо числа pi взаємно прості між собою, то описане цифрами a 1, a 2, ..., an подання числа N є єдиним.
Обсяг діапазону представимо чисел в цьому випадку як легко бачити, дорівнює
P=p 1 p 2 ... p n.
Тут, як і в узагальненій позиційній системі, діапазон представимо чисел росте як твір підстав, а розрядність чисел N росте як сума розрядностей тих же підстав.
Далі слід розглянути правила виконання операцій додавання і множення в системі залишкових класів у випадку, якщо обидва числа і результат операції знаходяться в діапазоні [0, P). Нехай операнди А і В представлені відповідно залишками ai і bi з підстав pi при i=1, 2,. . ., N.
Результати операцій додавання і множення А + В і АВ представлені відповідно залишками di і gi з тих самих підстав р i т. е.
А=(а 1, а 2, ..., а n), (1.2)
B=(b 1, b 2, ..., bn), (1.3)
A + B=(g 1, g 2, ..., gn), (1.4)
AB=(d 1, d 2, ..., dn), (1.5)
і при цьому мають місце співвідношення
A < P, B < P, A + B < P, AB < P. (1.6)
Стверджується, що gi порівнянно з а i + bi по модулю р i, а di порівнянно з а ibi по тому ж модулю, тобто
g i? а i + b i (mod р i), (1.7)
d i? а i b i (mod р i), (2.8)
при цьому як цифри результату береться відповідно
gi=аi + b i - рi, (1.9)
di=аi b i - рi. (1.10)
Необхідно охарактеризувати в загальних рисах достоїнства і недоліки введеної системи числення в залишкових класах.
До переваг слід віднести [4]: ??
· незалежність освіти розрядів числа, в силу чого кожен розряд несе інформацію про все вихідному числі, а не про проміжному числі, отримує в результаті утворення більш молодших розрядів. Звідси випливає незалежність розрядів числа один від одного і можливість їх незалежної паралельної обробки. При введенні додаткового контрольного підстави залишок, узятий за цим пунктом, несе надлишкову інформацію про вихідний числі, що дозволяє виявляти і виправляти помилки в цифрах по робочим підставах системи;
· малоразрядность залишків, що представляють число. Зважаючи на малу кількість можливих кодових комбінацій відкривається можливість побудови табличній арифметики, завдяки чому більшість операцій, виконуваних арифметичним пристроєм, перетворюються на однотактні, виконувані простий вибіркою з таблиці.
До основних недоліків системи числення в залишкових класах слід віднести:
· неможливість візуального зіставлення чисел, так як зовнішня запис числа не дає уявлення про його величиною;
· відсутність простих ознак виходу результатів операцій за межі діапазону [0, P);
