y">) + F 4 (x 4 )? max
при обмеженні x1 + x2 + x3 + x4 = C, xi? 0, i =. p> б) Схема рішення.
1. Введемо послідовність функцій:
z1 (x) - max прибуток фірми, якщо x засобів виділити одному 1-му філії;
z2 (x) - max прибуток фірми, якщо x засобів розподілити між 1-м і 2-м філіями;
z3 (x) - max прибуток фірми, якщо х коштів розподілити між 3-м і двома першими філіями;
z4 (x) - max прибуток фірми, при розподілі x коштів між усіма 4-ма філіями.
Очевидно, що z4 (C) = max F = F *, a zi (0) = 0.
. В«Зворотний хідВ». p> Розглянемо фінансування тільки 1-го філії, тоді за визначенням
z1 (x) = F1 (x). (1)
Нехай тепер кошти в обсязі x розподіляються між 1-м і 2-м філіями: 2-му в обсязі x2, тоді х - х2 = х1 виділяється 1-го. Загальний прибуток двох філій
z2 (x) = (F2 (x2) + z1 (x - x2)). (2)
Тепер включимо в розгляд додатково 3-й філія: з загальної суми х виділимо 3-му філії х3, тоді інша частина х - х3 оптимальним чином розподіляється між двома першими
z3 (x) = (F3 (x3) + z2 (x - x3)). (3)
Нарешті, за аналогією знаходимо
z4 (x) = (F4 (x4) + z3 (x - x4)). (4)
. В«Прямий хідВ». p> Функціональні рівняння Беллмана (1) - (4) дозволяють розрахувати значення zi і Fi для всіх можливих х. Серед них знаходимо z4 (C) = F * і оптимальне x4 * таке, що
F4 (x4 *) = F4 *, після чого результати обчислень проглядаються в зворотному порядку. Знаючи x4 *, знаходимо С-х4 * - обсяг фінансування інших трьох філій, а отже, і F3 * і х3 *, і т.д. до знаходження х1 * і F1 * = F1 (x1 *). p> в) Розрахунок.
....
4. Задача про заміну
а) Постановка завдання.
Обладнання з часом зношується і старіє морально, падає його продуктивність, зростають витрати на ремонт. Тому на якомусь етапі його експлуатація стає менш вигідною, ніж заміна на нове. Виникає задача визначення оптимальної стратегії заміни обладнання у розглянутий часовий проміжок - плановий період (п/п) з тим, щоб сумарний прибуток за цей період була оптимальною. p> Введемо позначення.
r (t) - вартість продукції, виробленої за рік на обладнанні віку t;
s (t) - залишкова вартість обладнання віку t;
u (t) - експлуатаційні витрати за рік обладнання віку t;
p - ціна нового обладнання, яким можна замінити застаріле:
n - кількість років у розглянутому п/п. p> Для дискретності рішення задачі вік обладнання t будемо відраховувати з інтервалом 1 рік. Управління складають два можливих рішення на кожному етапі (на початку кожного року): В«збереженняВ» - продовження експлуатації наявного обладнання; В«замінаВ» - реалізація строго обладнання за залишковою вартістю та придбання нового за ціною p. Цільова функція - сумарний прибуток за п/п F? Max. Обмеження визначаються критерієм заміни обладнання: прибуток при подальшій експлуатації старого менше прибутку після його заміни з урахуванням всіх витрат. Якщо прибуток від нового обладнання дорівнює прибутку при старому, то старе зберігається ще на рік, тому що воно вже досконало вивчено.
б) Схема рішення.
Завдання вирішується методом ДП на основі принципу оптимальності Беллмана. У процесі В«зворотного ходуВ» розглядаються етапи - тимчасові кроки від кінця п/п до його початку. p> Введемо послідовність функцій: zi (t), i = - максимальний прибуток за останні i років п/п. Очевидно, що zn (t0) = max F = F *, де t0 - вік обладнання на початку п/п. Отже, спочатку розглядаємо тільки останній n-ий рік з/п, i = 1. Нехай на початку цього року, коли обладнання має вік t років, вибирається одне з управлінь 1) збереження обладнання на n-ий рік, тоді прибуток за рік, що залишився з/п складе r (t) - u (t), 2) заміна новим, продаж старого за залишковою вартістю, тоді прибуток складе s (t) - p + r (0) - u (0), де r (0) - вартість продукції, на новому обладнанні за 1-й рік його експлуатації, u ( 0) - експлуатаційні витрати нового обладнання за 1-й рік. Визначаємо оптимальне управління, виходячи з критерію заміни:
якщо s (t) - p + r (0) - u (0)? r (t) - u (t), то В«зберегтиВ»,
якщо s (t) - p + r (0) - u (0)> r (t) - u (t), то В«замінитиВ».
1 (t) = max
Тепер включаємо в розгляд передостанній крок, (n - 1)-й рік, i = 2 і встановимо прибуток за два останні роки z2 (t).
Нехай на початку (n - 1)-го року вік устаткування t, і було прийнято рішення про його збереження. Тоді прибуток до кінця року залежить r (t) - u (t). При цьому на початок n-го року обладнання вже буде мати вік t +1, отже, в останньому році воно дасть прибуток z1 (t +1), а загальний прибуток за два останні роки складе r (t) - u (t) + z1 (t +...
