фективності попередню формулу часто замінюють формулою виду:
Кут нахилу до осі X розраховується за формулою:
Найбільш простий спосіб розрахунку градієнтів в дискретної області це використання односторонніх різниць:
Практика показує, що цей спосіб розрахунку дуже чутливий до випадкових флуктуацій яскравості, так, що крайки не можуть бути строго однозначно визначені. Градієнти можуть також визначатися за допомогою діагональних різниць (оператори Робертса):
або
Кут нахилу:
Хоча кромка локалізується правильно, проміжний піксель цього градиентного методу дуже чутливий до невеликих флуктуацій яскравості. Ця проблема може бути подолана з використанням двовимірного градиентного оператора, в якому диференціювання здійснюється одночасно з осреднением в ортогональному напрямку.
Описані вище прості градієнтні оператори мають один недолік: вони не здатні досить точно детектувати кромки на сильно зашумлених зображенні. Ця проблема може бути подолана за допомогою розширених шаблонів. Наприклад, R-оператор типу Prewitt 7x7 має вигляд:
Цей оператор називається Boxcar. Інший розширений R-оператор (trancated pyramid operator) дає знижений вага для точок, найбільш віддалених від центру шаблону:
Наступні вагові функції гауссова типу використовуються для придушення шуму. Позначимо через
безперервну гауссова функцію зі стандартним відхиленням s.
Використовуючи це позначення Argyle оператор може бути записаний, як дискретна версія безперервного оператора (R-оператор):
,
де s і t - параметри розповсюдження оператора. C-оператор записується аналогічно. Інший аналогічний оператор має вигляд (Macleod оператор):
Оператори Argyle і Macleod на відміну від Boxcar оператора дають знижений внесок пікселів, віддалених від центру шаблону. Сумарний оператор (діфференціірованіе (G) і видалення шуму (S)) можна записати у вигляді:
.
Всі розглянуті вище поліпшені оператори детектування кромок були виведені ієрархічно. Канни [6] використовував аналітичний підхід для конструювання такого оператора. Висновок Канні заснований на одновимірної неперервної моделі ступінчастою кромки амплітудою s плюс додатковий гауссовий шум зі стандартним відхиленням. Передбачається, що детектування кромки виконується шляхом згортки одновимірного безперервного перешкоди сигналу з антисиметричною імпульсної функцією відгуку, що має нульову амплітуду поза діапазону. Кромка визначається по максимуму градієнта. Імпульсна функція відгуку вибирається, що задовольняє трьом критеріям:
. Хороше детектування. Відношення сигнал-шум (SNR - signal-to-noise-ratio) градієнта максимизируется для отримання низької ймовірності невдачі у визначенні кромки і низьку можливість появи фальшивих точок.
. Хороша локалізація. Точки кромки, детектіруемих оператором, повинні бути якомога ближче до центру кромки.
. Єдиний відгук. Повинен бути тільки єдиний відгук, що визначає справжню крайку.
Канні скомбінував ці три критерії шляхом максимізації твори SNR і LOC при обмеженому умови 3. Через складність аналітичне рішення не було знайдено, проте був розроблений варіаційний підхід.
В роботі [10] досліджувалося питання про справедливість апрокси...
