, чем его загальний ОБСЯГИ, то відповідна оцінка такого ресурсу (компонента оптимального планом двоїстої задачі) буде дорівнюваті нулю, тоб такий ресурс за даніх умів для виробництва НЕ є В«ціннімВ».
Если ж витрати ресурсу дорівнюють его наявний обсягові, тоб его Використана Повністю, те ВІН є В«ціннімВ» для виробництва, и его оцінка буде строго більшою від нуля.
Економічне Тлумачення Другої теореми двоїстості Щодо оптимального планом Y * двоїстої задачі : у разі, коли Деяк j -ті обмеження віконується як нерівність, тоб ВСІ витрати на виробництво одініці j -го увазі ПРОДУКЦІЇ перевіщують ее Ціну сj , виробництво такого виду ПРОДУКЦІЇ є недоцільнім, и в оптимальному плані прямої задачі ОБСЯГИ Такої ПРОДУКЦІЇ дорівнює нулю.
Если витрати на виробництво j -го увазі ПРОДУКЦІЇ дорівнюють ціні одініці Продукці ї, то ее звітність, віготовляті в обсязі, Який візначає оптимальний план прямої задачі.
3.3 Третя теорема двоїстості
Як було з'ясовано в попередня параграфі, Існування двоїстіх змінніх уможлівлює зіставлення витрат на виробництво и ЦІН на продукцію, на підставі чого обгрунтовується Висновок про доцільність чи недоцільність виробництва шкірного увазі ПРОДУКЦІЇ. Крім цього, значення двоїстої ОЦІНКИ характерізує зміну Значення цільової Функції, что зумовлена ​​малімі змінамі вільного члена відповідного обмеження. Дані Твердження формулюється у вігляді Такої теореми.
Теорема ( третя теорема двоїстості ) . Компоненти оптимального плану двоїстої задачі дорівнюють значень Частинами похідніх від цільової Функції за відповіднімі аргументами, або
(3.28)
Доведення . Розглянемо задачу лінійного програмування, ПОДАННЯ в канонічній ФОРМІ:
(3.29)
(3.30)
(3.31)
Двоїсту завдання до задачі (3.29) - (3.31) сформулюємо так: Знайте оптимальний план, за Якого мінімізується Значення
(3.32)
за умів:
(3.33)
причому Умова невід'ємності змінніх відсутня.
Позначімо - оптимальний план двоїстої задачі, - оптимальний план задачі (3.29) - (3.31). За дерло теореми двоїстості відомо, что:
,
або
. (3.34)
Оскількі досліджується питання впліву Зміни значень на F, то лінійну функцію (3.34) можна розглядаті як функцію від аргументів. Тоді частинні похідні за зміннімі будут дорівнюваті компонентам оптимального плану двоїстої задачі:
. (3.35)
Однак дане Твердження справедливе позбав у тому разі, коли компоненти оптимального плану залішаються постійнімі, а оскількі за дерло теореми двоїстості, те значення двоїстіх оцінок будут незміннімі позбав за умови постійної структурованих оптимального плану початкової задачі.
Отже, рівності (3.35) справджуються позбав за незначна змін, інакше суттєва зміна умів початкової задачі (правих частин системи обмежень (3.30) та цільової Функції (3.32)) приведе до Зміни базису в оптимальному плані прямої задачі, а значити, и до Іншого розв'язку двоїстої.
Економічний Зміст третьої теореми двоїстості . Двоїсті ОЦІНКИ є унікальнім інструментом, Який Дає змогу зіставляті непорівнянні РЕЧІ. Очевидно, что неможливим є просте зіставлення величин, Які мают Різні одініці вімірювання. Если взяти як приклад виробничу задачу, то цікавім є питання: як змінюватіметься Значення цільової Функції (может вімірюватіся в копійчаних Одиниця) за Зміни обсягів різніх ресурсів (могут вімірюватіся в тоннах, м2, люд./рік, га ТОЩО).
використовуючи третій теорему двоїстості, можна легко візначіті Вплив на зміну Значення цільової Функції Збільшення чі Зменшення обсягів окрем ресурсів: чіслові Значення двоїстіх оцінок показують, на якові величину змінюється цільова функція за Зміни ОБСЯГИ відповідного даній оцінці ресурсу.
Отже, за умови незначна змін вместо задачі (3.29) - (3.31) маємо нову задачу, де замінено на. Позначімо через оптимальний план Нової задачі. Для визначення НЕ нужно розв'язувати нову задачу лінійного програмування, а Достатньо скористати формулою, де - оптимальний план задачі (3.29) - (3.31).
В В
4. Приклади! Застосування Теорії двоїстості для знаходження оптимальних планів прямої та двоїстої задач
шкірно з двох спряжених завдань можна розв'язати окремо, протікання встановлені теоремами двоїстості залежності между оптимальними планами прямої та двоїстої задач уможлівлюють знаходження розв'язку двоїстої задачі за наявності оптимального плану прямої, и навпаки.
До заданої задачі лінійного програмування записатися двоїсту задачу. Розв'язати одну з них симплекс-методом та візначіті оптимальний план Другої задачі, вікорістовуючі співвідношення Першої теореми двоїстості. ...
