6-точкового ШПФ
В
Визначимо СКЗ вихідний помилки алгоритму, зумовленої масштабуванням проміжних результатів. Помилка масштабування комплексного числа на m-й щаблі алгоритму має нульове середнє і дисперсію . Множник з'являється через масштабування на m попередніх щаблях.
Відповідно до висновку 2 СКЗ індивідуальної помилки дорівнює
(8.8)
у разі 16-точкового ШПФ
В
Усереднене по всіх виходів k СК3 також дорівнює
(8.9)
Середньоквадратичне значення сумарної помилки, зумовленої округленням і масштабуванням, обчислюється як сума окремих СК3:
(8.10)
СК3 сумарною помилки, усереднене за усіх виходах алгоритму, дорівнює
(8.11)
У разі 1б-точкового ШПФ
В
Результати обчислення СК3 сумарних помилок також наведені в табл.1. Точність алгоритму прийнято оцінювати по відношенню В«СК3 помилки/СК3 вихідного сигналу В». У даному випадку воно становить
____ В«СКЗ помилкиВ» ______ = (8.12)
В«СКЗ вихідного сигналуВ»
У разі 1б-точкового ШПФ
___ В«СК3 помилкиВ» _______ =
В«СК3 вихідного сигналуВ»
Як видно з отриманих виразів, точність алгоритму залежить від двох параметрів: довжини перетворення N і розрядності подання чисел b 1. Якщо відомі вимоги по точності обчислення і розмір перетворення, розрядність процесора ШПФ можна визначити з наступного виразу, отриманого логарифмування виразу (8.12):
(8.13)
Тепер перейдемо до аналізу помилок ШПФ, викликаних неточним поданням значень повертають множників Нехай
- точні значення коефіцієнтів Фур'є, а '(k) - неточні, отримані при умови подання коефіцієнтів кінцевим числом розрядів
.
У розглянутому алгоритмі кожен елемент являє собою твір v квантованих коефіцієнтів. Дійсно, можна показати, що кожен відлік вхідної послідовності, просуваючись до k -му виходу (див. рис.5), на кожному ступені алгоритму зазнає множення тільки на один поворачивающий множник, тобто
(8.14)
де
(8.15)
Дисперсія елементарних помилок округлення комплексних коефіцієнтів дорівнює
Індивідуальна помилка ШПФ, обумовлена ​​округленням коефіцієнтів, дорівнює
(8.16)
Віднімаючи (8.15) з (8.14), отримуємо
члени вищого порядку.
Нехтуючи членами вищого порядку і підставляючи останній вираз в (8.16), отримуємо наступне СК3 помилки, викликаної квантуванням коефіцієнтів:
(8.17)
По теоремі Парсеваля СК3 вихідного сигналу дорівнює
(8.18)
Звідси В«СК3 помилки/СК3 вихідного сигналу В»= (v/б) 2 -2b 2 . У разі 16-точкового ШПФ В«СК3 ошібкі/СК3 вихідного сигналуВ» = (2/3) 2 -2b 2 . p> У рефераті розглянуті обчислювальні помилки тільки одного з численних алгоритмів ШПФ для певного виду представлення чисел. З таким же успіхом використаний підхід може бути застосований для аналізу помилок інших алгоритмів. При цьому, очевидно, СК3 помилок буде істотно залежати від конфігурації спрямованого графа алгоритму, способу подання чисел та методу масштабування.
ВИСНОВОК
До середини 1960-х для подання спектрального розкладання використовувалися точні формули для знаходження параметрів синусів і косинусів. Відповідні обчислення вимагали як мінімум N ** 2 (комплексних) множень. Таким чином, навіть сьогодні високошвидкісного комп'ютера треба було б дуже багато часу для аналізу навіть невеликого часового ряду (для 8,000 спостережень було б потрібно, по Щонайменше 64 мільйони множень). p> Ситуація кардинально змінилася з відкриттям так званого алгоритму <> швидкого перетворення Фур'є, або ШПФ для стислості. Досить сказати, що при застосуванні алгоритму ШПФ час виконання спектрального аналізу ряду довжини N стало пропорційно N * log2 (N) що звичайно є величезним прогресом. p> Однак недолік стандартного алгоритму ШПФ полягає в тому, що число даних ряду має бути рівним ступеня 2 (тобто 16, 64, 128, 256, ...). Зазвичай це призводить до необхідності додавати нулі в тимчасовій ряд, який, як описано вище, в більшості випадків не змінює характерні піки періодограмми або оцінки спектральної щільності. Тим не менш, в деяких випадках, коли одиниця часу значна, додавання констант в тимчасовій ряд може зробити результати більш громіздкими. br clear=all>
Список використаних джерел
1. Цифрова обробка сигналів: Навч. Посібник для вузів/Л. М. Гольденберг, Б.Д. Матюшкін, М. Н. Поляк. - 2ізд., Перераб. і доп. - М.: Радіо і зв'язок, 1990. - 256 с.: Іл....
