Федеральне агентство зв'язку
Сибірський Державний Університет Телекомунікацій та Інформатики
Міжрегіональний центр перепідготовки фахівців
Контрольна робота
З дисципліни: Математичний аналіз
Виконав: Калінін Максим
Перевірив: Агульнік Ольга Миколаївна
Новосибірськ, 2015 р
1. Знайти межі
а) б) в).
Рішення.
Скористаємося формулами:
(19)
(20)
(21)
(22)
(23).
- скористаємося тотожними перетвореннями: розділимо чисельник і знаменник виразу на.
.
Оскільки ~, то ~, тоді
.
в)
Відповідь: а), б) 0, в).
. Знайти похідні даних функцій
б)
г).
Рішення.
Властивості похідної:
(24)
(25)
(26)
(27)
.
.
.
- функція задана неявно.
Продифференцируем обидві частини рівності:
;
;
;
Висловимо похідну:
;
;
.
Відповідь: а); б); в); г).
3. Дослідити методами диференціального обчислення функцію. Використовуючи результати дослідження, побудувати її графік
Рішення. Схема дослідження функції
. Знайдемо область визначення функції:. Точок розриву немає. 2. Перевіримо, чи не є функція парній або непарній; перевіримо також, чи не є вона періодичної.
функція непарна, її графік симетричний відносно початку координат, неперіодична
. Знайдемо точки перетину графіка функції з осями координат.
Перетин з: точка
Перетин:.
. Знайдемо похідну функції та її критичні точки.
, - критичні точки.
5. Знайдемо проміжки монотонності і екстремуми функції.
Визначимо знак похідної на кожному з інтервалів методом приватних значень:
,,
.
,.
Табл.1.
- 2 (- 2; 2) 2 ---- + - 11
Значить при (- 2; 2), при і
точка мінімуму;- Точка максимуму.
. Знайдемо другу похідну, її нулі та інтервали знакопостоянства.
.
,,.
,,.
,,,
Табл.2.
0 - 0 + 0-0 + 0
В інтервалах, де lt; 0, тобто при і графік функції опуклий, а де gt; 0 - і - увігнутий.
. Знайдемо асимптоти.
Рівняння похилих асимптот, де, тоді похилих асимптот не існує.
Горизонтальна асимптота (вісь)
Графік даної функції має вигляд:
Рис.3.
4. Дана функція. Знайти всі її приватні похідні другого порядку
Рішення.
Для обчислення приватних похідних будемо користуватися правилом: всі змінні, крім тієї, за якою диференціюємо, вважаємо постійними. Тоді враховуючи (24) - (27). Знайдемо спочатку похідні першого порядку.
- вважаємо постійною, а - змінної.
- вважаємо постійною, а - змінної.
Знайдемо похідні другого порядку:
- диференціюємо по, вважаючи постійною.
- диференціюємо по, вважаючи постійною.
- диференціюємо по, вважаючи постійною.
Відповідь:,
,.
. Знайти невизначені інтеграли
а) б)
в) г).
Рішення.
Скористаємося властивостями інтеграла:
(28)
. (29)
(30) - внесенням під знак диференціала необхідної змінної.
(31)
Скористаємося формулою зниження ступеня, тоді
.
Розкладемо подинтегральную функцію на найпростіші дроби і скористаємося формулами
, якщо (32)
(33).
екстремум дріб монотонність подинтегрального
Скористаємося для розкладання методом невизначених коефіцієнтів:
отримаємо систему:. Тоді
.
- виконаємо заміну змінної, тоді.
.
Виконаємо зворотну заміну, тоді.
Відповідь: а), б), в), г).
Список використаної літератури
1. Вигодський М.Я. Довідник з вищої математики. 8-е изд.- М .: Наука, 1966 - 872 с.
2. Демидович Б.П .. Збірник завдань і вправ з математичного аналізу.- М .: Наука, 1972 - 544 с.
3. Завдання і вправ з математичного аналізу для втузів .: Навчальний посібник для студентів вищих техн. навч. закладів/під. ред. Б.П. Демидовича.- М ....
