МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ
Федеральне державне бюджетне освітня установа вищої професійної освіти
«Південно-Уральський державний університет»
иодо
Контрольна робота
Математичний аналіз
Виконала Козлова Вероніка Валеріяновна
Перевірила Шунайлова С.А
Завдання 1. Знайдіть похідні функцій
б).
Завдання 2. Знайдіть похідні функцій.
а)
б)
Завдання 3. Знайдіть найбільше і найменше значення функції у=f (x) на відрізку [а; b].
Рішення. Знаходимо похідну функції:, прирівнюємо її до нуля і знаходимо критичні точки, що належать цьому відрізку:.
Знаходимо значення функції на кінцях відрізка і в критичній точці:
Тоді найбільше значення: 4 і найменше значення (- 4).
Завдання 4. Дослідіть функцію за допомогою похідної та побудуйте її графік:.
Рішення.
1. Область визначення даної функції D (y):
. Графік функції перетинає вісь OY в точці.
. Функція неперервна при
Отже, вертикальних асимптот немає.
4. При дослідженні на парність, непарність знайдемо y (-x).
Отже, функція не є парній, не є непарною.
Функція не є періодичною.
. Знаходимо інтервали зростання, спадання і екстремум функції, для цього:
а) знайдемо похідну функції
б) Похідна звертається в нуль при
x - 2 0 - 0 + 0-yубиваетMin - 7возрастаетMax 1убивает
. Знаходимо інтервали опуклості, угнутості і точки перегину.
а) знайдемо похідну другого порядку.
б) друга похідна звертається в нуль при х=- 1
x - 1 + 0-y - 3 перегин
Будуємо графік функції
Завдання 5. Дана функція і точка M0 (x0, у0). Знайдіть градієнт функції в точці М0 і похідну функції: у точці М0 у напрямку вектора.
функція екстремум перегин зростання
.
Рішення. Градієнт функції двох змінних дорівнює
.
Знайдемо приватні похідні:
.
Знайдемо значення приватних похідних в точці:
.
Похідна функції у напрямку вектора дорівнює:
де напрямні косинуси вектора.
Знаходимо напрямні косинуси вектора:
Остаточно отримаємо:
Завдання 6. Дослідіть функцію на екстремум:.
Рішення. Знаходимо стаціонарні точки. Для цього знаходимо приватні похідні першого порядку і прирівнюємо їх до нуля:
.
Знаходимо приватні похідні другого порядку:
в точці О (0; 0) немає екстремуму.
