ПОХІДНІ ТА ДІФЕРЕНЦІАЛІ Функції БАГАТЬОХ ЗМІННІХ
1 частинні похідні
Нехай функція Визначи в Деяк околі точки.
Надам змінній x приросту, залішаючі змінну незмінною, так, щоб точка належала заданому околу. Величина
В
назівається Частинами приростом Функції за змінною x.
Аналогічно вводитися Частинами ПРИРІСТ Функції за змінною:
.
Если існує границя
,
то вона назівається Частинами похідною Функції в точці за змінною x и позначається одним Із таких сімволів:
.
Аналогічно Частинами похідна Функції за візначається як границя
В
и позначається одним Із сімволів:
.
Згідно з означенность при знаходженні частінної похідної обчислюють звичайна похідну Функції однієї змінної x, вважаючі змінну сталі, а при знаходженні похідної сталлю вважається змінна x. Тому частинні похідні знаходять за формулами и правилами обчислення похідніх функцій однієї змінної. p> Частинами похідна (або) характерізує ШВИДКІСТЬ Зміни Функції в напрямі осі (або).
Зясуємо геометричність Зміст Частинами похідніх Функції двох змінніх. Графіком Функції є Деяка поверхні (рис 1). Графіком Функції є лінія Перетин цієї поверхні з площини. Віходячі з геометричного змісту похідної для Функції однієї змінної, отрімаємо, что, де-кут между віссю и дотичність, проведених до крівої в точці. Аналогічно. br/>В
Рисунок 1 - геометричність Зміст Частинами похідніх
Для Функції n змінніх можна найти n Частинами похідніх:
,
де
,
.
Щоб найти Частинами похідну, звітність, взяти звичайний похідну Функції за змінною, вважаючі Решті змінніх сталі.
Если функція задана в области и має частинні похідні в усіх точках, то ці похідні можна розглядаті як Нові Функції, задані в области.
Если існує Частинами похідна за x від Функції, то ее назівають Частинами похідною іншого порядку від Функції за змінною x и позначають або.
Таким чином, за зазначені
або.
Если існує Частинами похідна від Функції за змінною, то Цю похідну назівають мішаною Частинами похідною іншого порядку від Функції и позначають, або.
Отже, за зазначені
або.
Для Функції двох змінніх можна розглядаті Чотири похідні іншого порядку:
.
Если існують частинні похідні від Частинами похідніх іншого порядку, то їх назівають частинними похіднімі третього порядку Функції, їх Вісім:
В
.
Вінікає запитання: чи поклади результат діференціювання від порядку діференціювання? Інакше Кажучи, чі будут рівнімі между собою мішані похідні, ЯКЩО смороду взяті за одними и Тімі самими зміннімі, одне й ті самє число разів, альо в різному порядку? Наприклад, чі дорівнюють одна одній похідні
и або и?
У загально випадка відповід...
